Тригонометрия Примеры

$\frac{4 + \sqrt{2}}{4 - \sqrt{2}}$

Этап 1

Умножим $\frac{4 + \sqrt{2}}{4 - \sqrt{2}}$ на $\frac{4 + \sqrt{2}}{4 + \sqrt{2}}$ .

$\frac{4 + \sqrt{2}}{4 - \sqrt{2}} \cdot \frac{4 + \sqrt{2}}{4 + \sqrt{2}}$

Этап 2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{4 + \sqrt{2}}{4 - \sqrt{2}}$ на $\frac{4 + \sqrt{2}}{4 + \sqrt{2}}$ .

$\frac{(4 + \sqrt{2}) (4 + \sqrt{2})}{(4 - \sqrt{2}) (4 + \sqrt{2})}$

Этап 2.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(4 + \sqrt{2}) (4 + \sqrt{2})}{16 + 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

$\frac{(4 + \sqrt{2}) (4 + \sqrt{2})}{14}$

Этап 3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возведем $4 + \sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{{(4 + \sqrt{2})}^{1} (4 + \sqrt{2})}{14}$

Этап 3.2

Возведем $4 + \sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{{(4 + \sqrt{2})}^{1} {(4 + \sqrt{2})}^{1}}{14}$

Этап 3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(4 + \sqrt{2})}^{1 + 1}}{14}$

Этап 3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{(4 + \sqrt{2})}^{2}}{14}$

Этап 4

Перепишем ${(4 + \sqrt{2})}^{2}$ в виде $(4 + \sqrt{2}) (4 + \sqrt{2})$ .

$\frac{(4 + \sqrt{2}) (4 + \sqrt{2})}{14}$

Этап 5

Развернем $(4 + \sqrt{2}) (4 + \sqrt{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (4 + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (4 + \sqrt{2})}{14}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 \cdot 4 + 4 \sqrt{2} + \sqrt{2} (4 + \sqrt{2})}{14}$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 \cdot 4 + 4 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 4 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{14}$

Этап 6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{16 + 4 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 4 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{14}$

Этап 6.1.2

Перенесем $4$ влево от $\sqrt{2}$ .

$\frac{16 + 4 \sqrt{2} + 4 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{14}$

Этап 6.1.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{16 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{14}$

Этап 6.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{16 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{14}$

Этап 6.1.5

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{16 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{14}$

Этап 6.1.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{16 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 2}{14}$

Этап 6.2

Добавим $16$ и $2$ .

$\frac{18 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2}}{14}$

Этап 6.3

Добавим $4 \sqrt{2}$ и $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{18 + 8 \sqrt{2}}{14}$

Этап 7

Сократим общий множитель $18 + 8 \sqrt{2}$ и $14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$\frac{2 (9) + 8 \sqrt{2}}{14}$

Этап 7.2

Вынесем множитель $2$ из $8 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (9) + 2 (4 \sqrt{2})}{14}$

Этап 7.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (9) + 2 (4 \sqrt{2})$ .

$\frac{2 (9 + 4 \sqrt{2})}{14}$

Этап 7.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Вынесем множитель $2$ из $14$ .

$\frac{2 (9 + 4 \sqrt{2})}{2 \cdot 7}$

Этап 7.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (9 + 4 \sqrt{2})}{2 \cdot 7}$

Этап 7.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{9 + 4 \sqrt{2}}{7}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{9 + 4 \sqrt{2}}{7}$

Десятичная форма:

$2.09383632 \dots$