Тригонометрия Примеры

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2}{\sqrt{7}}}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Этап 1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{7}}$ на $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\sqrt{\frac{1 - (\frac{2}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Этап 2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{7}}$ на $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Этап 2.2

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Этап 2.3

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Этап 2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Этап 2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Этап 2.6

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2 \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Этап 2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2 \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Этап 2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Этап 2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Этап 2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2 \sqrt{7}}{7^{1}}}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Этап 2.6.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2 \sqrt{7}}{7}}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{7}{7} - \frac{2 \sqrt{7}}{7}}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Этап 3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7}}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Этап 3.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7}}{\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7}}{\frac{\sqrt{7} + 2}{\sqrt{7}}}}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sqrt{\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} + 2}}$

Этап 5

Умножим $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} + 2}$ на $\frac{\sqrt{7} - 2}{\sqrt{7} - 2}$ .

$\sqrt{\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7} (\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} + 2} \cdot \frac{\sqrt{7} - 2}{\sqrt{7} - 2})}$

Этап 6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} + 2}$ на $\frac{\sqrt{7} - 2}{\sqrt{7} - 2}$ .

$\sqrt{\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7} \cdot \frac{\sqrt{7} (\sqrt{7} - 2)}{(\sqrt{7} + 2) (\sqrt{7} - 2)}}$

Этап 6.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\sqrt{\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7} \cdot \frac{\sqrt{7} (\sqrt{7} - 2)}{{\sqrt{7}}^{2} + \sqrt{7} \cdot - 2 + 2 \sqrt{7} - 4}}$

Этап 6.3

Упростим.

$\sqrt{\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7} \cdot \frac{\sqrt{7} (\sqrt{7} - 2)}{3}}$

Этап 6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{7} + \sqrt{7} \cdot - 2}{3}}$

Этап 6.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\sqrt{\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7} \cdot \frac{\sqrt{7 \cdot 7} + \sqrt{7} \cdot - 2}{3}}$

Этап 6.6

Перенесем $- 2$ влево от $\sqrt{7}$ .

$\sqrt{\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7} \cdot \frac{\sqrt{7 \cdot 7} - 2 \cdot \sqrt{7}}{3}}$

Этап 7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $7$ на $7$ .

$\sqrt{\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7} \cdot \frac{\sqrt{49} - 2 \cdot \sqrt{7}}{3}}$

Этап 7.2

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$\sqrt{\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7} \cdot \frac{\sqrt{7^{2}} - 2 \cdot \sqrt{7}}{3}}$

Этап 7.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\sqrt{\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7} \cdot \frac{7 - 2 \sqrt{7}}{3}}$

Этап 8

Умножим $\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7} \cdot \frac{7 - 2 \sqrt{7}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7}$ на $\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{3}$ .

$\sqrt{\frac{(7 - 2 \sqrt{7}) (7 - 2 \sqrt{7})}{7 \cdot 3}}$

Этап 8.2

Возведем $7 - 2 \sqrt{7}$ в степень $1$ .

$\sqrt{\frac{{(7 - 2 \sqrt{7})}^{1} (7 - 2 \sqrt{7})}{7 \cdot 3}}$

Этап 8.3

Возведем $7 - 2 \sqrt{7}$ в степень $1$ .

$\sqrt{\frac{{(7 - 2 \sqrt{7})}^{1} {(7 - 2 \sqrt{7})}^{1}}{7 \cdot 3}}$

Этап 8.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sqrt{\frac{{(7 - 2 \sqrt{7})}^{1 + 1}}{7 \cdot 3}}$

Этап 8.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sqrt{\frac{{(7 - 2 \sqrt{7})}^{2}}{7 \cdot 3}}$

Этап 8.6

Умножим $7$ на $3$ .

$\sqrt{\frac{{(7 - 2 \sqrt{7})}^{2}}{21}}$

Этап 9

Перепишем ${(7 - 2 \sqrt{7})}^{2}$ в виде $(7 - 2 \sqrt{7}) (7 - 2 \sqrt{7})$ .

$\sqrt{\frac{(7 - 2 \sqrt{7}) (7 - 2 \sqrt{7})}{21}}$

Этап 10

Развернем $(7 - 2 \sqrt{7}) (7 - 2 \sqrt{7})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{\frac{7 (7 - 2 \sqrt{7}) - 2 \sqrt{7} (7 - 2 \sqrt{7})}{21}}$

Этап 10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{\frac{7 \cdot 7 + 7 (- 2 \sqrt{7}) - 2 \sqrt{7} (7 - 2 \sqrt{7})}{21}}$

Этап 10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{\frac{7 \cdot 7 + 7 (- 2 \sqrt{7}) - 2 \sqrt{7} \cdot 7 - 2 \sqrt{7} (- 2 \sqrt{7})}{21}}$

Этап 11

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Умножим $7$ на $7$ .

$\sqrt{\frac{49 + 7 (- 2 \sqrt{7}) - 2 \sqrt{7} \cdot 7 - 2 \sqrt{7} (- 2 \sqrt{7})}{21}}$

Этап 11.1.2

Умножим $- 2$ на $7$ .

$\sqrt{\frac{49 - 14 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} \cdot 7 - 2 \sqrt{7} (- 2 \sqrt{7})}{21}}$

Этап 11.1.3

Умножим $7$ на $- 2$ .

$\sqrt{\frac{49 - 14 \sqrt{7} - 14 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} (- 2 \sqrt{7})}{21}}$

Этап 11.1.4

Умножим $- 2 \sqrt{7} (- 2 \sqrt{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.4.1

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$\sqrt{\frac{49 - 14 \sqrt{7} - 14 \sqrt{7} + 4 \sqrt{7} \sqrt{7}}{21}}$

Этап 11.1.4.2

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$\sqrt{\frac{49 - 14 \sqrt{7} - 14 \sqrt{7} + 4 ({\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7})}{21}}$

Этап 11.1.4.3

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$\sqrt{\frac{49 - 14 \sqrt{7} - 14 \sqrt{7} + 4 ({\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1})}{21}}$

Этап 11.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sqrt{\frac{49 - 14 \sqrt{7} - 14 \sqrt{7} + 4 {\sqrt{7}}^{1 + 1}}{21}}$

Этап 11.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sqrt{\frac{49 - 14 \sqrt{7} - 14 \sqrt{7} + 4 {\sqrt{7}}^{2}}{21}}$

Этап 11.1.5

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{49 - 14 \sqrt{7} - 14 \sqrt{7} + 4 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{21}}$

Этап 11.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{49 - 14 \sqrt{7} - 14 \sqrt{7} + 4 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{21}}$

Этап 11.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{49 - 14 \sqrt{7} - 14 \sqrt{7} + 4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{21}}$

Этап 11.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{49 - 14 \sqrt{7} - 14 \sqrt{7} + 4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{21}}$

Этап 11.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{49 - 14 \sqrt{7} - 14 \sqrt{7} + 4 \cdot 7^{1}}{21}}$

Этап 11.1.5.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{49 - 14 \sqrt{7} - 14 \sqrt{7} + 4 \cdot 7}{21}}$

Этап 11.1.6

Умножим $4$ на $7$ .

$\sqrt{\frac{49 - 14 \sqrt{7} - 14 \sqrt{7} + 28}{21}}$

Этап 11.2

Добавим $49$ и $28$ .

$\sqrt{\frac{77 - 14 \sqrt{7} - 14 \sqrt{7}}{21}}$

Этап 11.3

Вычтем $14 \sqrt{7}$ из $- 14 \sqrt{7}$ .

$\sqrt{\frac{77 - 28 \sqrt{7}}{21}}$

Этап 12

Сократим общий множитель $77 - 28 \sqrt{7}$ и $21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Вынесем множитель $7$ из $77$ .

$\sqrt{\frac{7 (11) - 28 \sqrt{7}}{21}}$

Этап 12.2

Вынесем множитель $7$ из $- 28 \sqrt{7}$ .

$\sqrt{\frac{7 (11) + 7 (- 4 \sqrt{7})}{21}}$

Этап 12.3

Вынесем множитель $7$ из $7 (11) + 7 (- 4 \sqrt{7})$ .

$\sqrt{\frac{7 (11 - 4 \sqrt{7})}{21}}$

Этап 12.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Вынесем множитель $7$ из $21$ .

$\sqrt{\frac{7 (11 - 4 \sqrt{7})}{7 \cdot 3}}$

Этап 12.4.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{7 (11 - 4 \sqrt{7})}{7 \cdot 3}}$

Этап 12.4.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{11 - 4 \sqrt{7}}{3}}$

Этап 13

Перепишем $\sqrt{\frac{11 - 4 \sqrt{7}}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}}}{\sqrt{3}}$

Этап 14

Умножим $\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 15

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Умножим $\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 15.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 15.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 15.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 15.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 15.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 15.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 15.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 15.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 15.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 15.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}} \sqrt{3}}{3}$

Этап 16

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{(11 - 4 \sqrt{7}) \cdot 3}}{3}$

Этап 17

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{(11 - 4 \sqrt{7}) \cdot 3}}{3}$

Десятичная форма:

$0.37282469 \dots$