Тригонометрия Примеры

$\sqrt{\frac{1 - \frac{8 \sqrt{113}}{113}}{1 + \frac{8 \sqrt{113}}{113}}}$

Этап 1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{113}{113} - \frac{8 \sqrt{113}}{113}}{1 + \frac{8 \sqrt{113}}{113}}}$

Этап 2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{113}}{1 + \frac{8 \sqrt{113}}{113}}}$

Этап 3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{113}}{\frac{113}{113} + \frac{8 \sqrt{113}}{113}}}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{113}}{\frac{113 + 8 \sqrt{113}}{113}}}$

Этап 5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{113} \cdot \frac{113}{113 + 8 \sqrt{113}}}$

Этап 6

Сократим общий множитель $113$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{113} \cdot \frac{113}{113 + 8 \sqrt{113}}}$

Этап 6.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{(113 - 8 \sqrt{113}) \frac{1}{113 + 8 \sqrt{113}}}$

Этап 7

Умножим $\frac{1}{113 + 8 \sqrt{113}}$ на $\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{113 - 8 \sqrt{113}}$ .

$\sqrt{(113 - 8 \sqrt{113}) (\frac{1}{113 + 8 \sqrt{113}} \cdot \frac{113 - 8 \sqrt{113}}{113 - 8 \sqrt{113}})}$

Этап 8

Умножим $\frac{1}{113 + 8 \sqrt{113}}$ на $\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{113 - 8 \sqrt{113}}$ .

$\sqrt{(113 - 8 \sqrt{113}) \frac{113 - 8 \sqrt{113}}{(113 + 8 \sqrt{113}) (113 - 8 \sqrt{113})}}$

Этап 9

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\sqrt{(113 - 8 \sqrt{113}) \frac{113 - 8 \sqrt{113}}{12769 - 904 \sqrt{113} + 904 \sqrt{113} - 64 {\sqrt{113}}^{2}}}$

Этап 10

Упростим.

$\sqrt{(113 - 8 \sqrt{113}) \frac{113 - 8 \sqrt{113}}{5537}}$

Этап 11

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{113 \frac{113 - 8 \sqrt{113}}{5537} - 8 \sqrt{113} \frac{113 - 8 \sqrt{113}}{5537}}$

Этап 12

Сократим общий множитель $113$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Вынесем множитель $113$ из $5537$ .

$\sqrt{113 \frac{113 - 8 \sqrt{113}}{113 (49)} - 8 \sqrt{113} \frac{113 - 8 \sqrt{113}}{5537}}$

Этап 12.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{113 \frac{113 - 8 \sqrt{113}}{113 \cdot 49} - 8 \sqrt{113} \frac{113 - 8 \sqrt{113}}{5537}}$

Этап 12.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} - 8 \sqrt{113} \frac{113 - 8 \sqrt{113}}{5537}}$

Этап 13

Умножим $- 8 \sqrt{113} \frac{113 - 8 \sqrt{113}}{5537}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим $\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{5537}$ и $- 8$ .

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(113 - 8 \sqrt{113}) \cdot - 8}{5537} \sqrt{113}}$

Этап 13.2

Объединим $\frac{(113 - 8 \sqrt{113}) \cdot - 8}{5537}$ и $\sqrt{113}$ .

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(113 - 8 \sqrt{113}) \cdot - 8 \sqrt{113}}{5537}}$

Этап 14

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Сгруппируем $\sqrt{113}$ и $113 - 8 \sqrt{113}$ .

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{\sqrt{113} (113 - 8 \sqrt{113}) \cdot - 8}{5537}}$

Этап 14.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(\sqrt{113} \cdot 113 + \sqrt{113} (- 8 \sqrt{113})) \cdot - 8}{5537}}$

Этап 14.3

Перенесем $113$ влево от $\sqrt{113}$ .

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(113 \cdot \sqrt{113} + \sqrt{113} (- 8 \sqrt{113})) \cdot - 8}{5537}}$

Этап 14.4

Умножим $\sqrt{113} (- 8 \sqrt{113})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Возведем $\sqrt{113}$ в степень $1$ .

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(113 \cdot \sqrt{113} - 8 ({\sqrt{113}}^{1} \sqrt{113})) \cdot - 8}{5537}}$

Этап 14.4.2

Возведем $\sqrt{113}$ в степень $1$ .

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(113 \cdot \sqrt{113} - 8 ({\sqrt{113}}^{1} {\sqrt{113}}^{1})) \cdot - 8}{5537}}$

Этап 14.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(113 \cdot \sqrt{113} - 8 {\sqrt{113}}^{1 + 1}) \cdot - 8}{5537}}$

Этап 14.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(113 \cdot \sqrt{113} - 8 {\sqrt{113}}^{2}) \cdot - 8}{5537}}$

Этап 14.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Перепишем ${\sqrt{113}}^{2}$ в виде $113$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{113}$ в виде $113^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(113 \sqrt{113} - 8 {(113^{\frac{1}{2}})}^{2}) \cdot - 8}{5537}}$

Этап 14.5.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(113 \sqrt{113} - 8 \cdot 113^{\frac{1}{2} \cdot 2}) \cdot - 8}{5537}}$

Этап 14.5.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(113 \sqrt{113} - 8 \cdot 113^{\frac{2}{2}}) \cdot - 8}{5537}}$

Этап 14.5.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(113 \sqrt{113} - 8 \cdot 113^{\frac{2}{2}}) \cdot - 8}{5537}}$

Этап 14.5.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(113 \sqrt{113} - 8 \cdot 113^{1}) \cdot - 8}{5537}}$

Этап 14.5.1.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(113 \sqrt{113} - 8 \cdot 113) \cdot - 8}{5537}}$

Этап 14.5.2

Умножим $- 8$ на $113$ .

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(113 \sqrt{113} - 904) \cdot - 8}{5537}}$

Этап 14.6

Сократим общий множитель $113 \sqrt{113} - 904$ и $5537$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.6.1

Вынесем множитель $113$ из $(113 \sqrt{113} - 904) \cdot - 8$ .

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{113 ((\sqrt{113} - 8) \cdot - 8)}{5537}}$

Этап 14.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.6.2.1

Вынесем множитель $113$ из $5537$ .

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{113 ((\sqrt{113} - 8) \cdot - 8)}{113 (49)}}$

Этап 14.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{113 ((\sqrt{113} - 8) \cdot - 8)}{113 \cdot 49}}$

Этап 14.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(\sqrt{113} - 8) \cdot - 8}{49}}$

Этап 14.7

Перенесем $- 8$ влево от $\sqrt{113} - 8$ .

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{- 8 \cdot (\sqrt{113} - 8)}{49}}$

Этап 14.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} - \frac{8 (\sqrt{113} - 8)}{49}}$

Этап 15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113} - 8 (\sqrt{113} - 8)}{49}}$

Этап 16

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113} - 8 \sqrt{113} - 8 \cdot - 8}{49}}$

Этап 16.2

Умножим $- 8$ на $- 8$ .

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113} - 8 \sqrt{113} + 64}{49}}$

Этап 17

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Добавим $113$ и $64$ .

$\sqrt{\frac{177 - 8 \sqrt{113} - 8 \sqrt{113}}{49}}$

Этап 17.2

Вычтем $8 \sqrt{113}$ из $- 8 \sqrt{113}$ .

$\sqrt{\frac{177 - 16 \sqrt{113}}{49}}$

Этап 18

Перепишем $\sqrt{\frac{177 - 16 \sqrt{113}}{49}}$ в виде $\frac{\sqrt{177 - 16 \sqrt{113}}}{\sqrt{49}}$ .

$\frac{\sqrt{177 - 16 \sqrt{113}}}{\sqrt{49}}$

Этап 19

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$\frac{\sqrt{177 - 16 \sqrt{113}}}{\sqrt{7^{2}}}$

Этап 19.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\sqrt{177 - 16 \sqrt{113}}}{7}$

Этап 20

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{177 - 16 \sqrt{113}}}{7}$

Десятичная форма:

$0.37573511 \dots$