Тригонометрия Примеры

$\cos (θ) < 0$

Этап 1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$θ < \arccos (0)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$θ < \frac{π}{2}$

Этап 3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 4

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Этап 5

Найдем период $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6

Период функции $\cos (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Объединим ответы.

$θ = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$θ = 3$

Этап 9.1.2

Заменим $θ$ на $3$ в исходном неравенстве.

$\cos (3) < 0$

Этап 9.1.3

Левая часть $- 0.98999249$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$θ = 6$

Этап 9.2.2

Заменим $θ$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\cos (6) < 0$

Этап 9.2.3

Левая часть $0.96017028$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.3

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ Истина

$\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ Ложь

$\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ Истина

$\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ Ложь

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{π}{2} + 2 π n < θ < \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 11