Тригонометрия Примеры

$\sqrt{\frac{78 - \sqrt{7}}{1} + \frac{2}{3 - \sqrt{7}}}$

Этап 1

Чтобы записать $\frac{78 - \sqrt{7}}{1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 - \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}}$ .

$\sqrt{\frac{78 - \sqrt{7}}{1} \cdot \frac{3 - \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}} + \frac{2}{3 - \sqrt{7}}}$

Этап 2

Умножим $\frac{78 - \sqrt{7}}{1}$ на $\frac{3 - \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}}$ .

$\sqrt{\frac{(78 - \sqrt{7}) (3 - \sqrt{7})}{3 - \sqrt{7}} + \frac{2}{3 - \sqrt{7}}}$

Этап 3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{(78 - \sqrt{7}) (3 - \sqrt{7}) + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Этап 4

Перепишем $\frac{(78 - \sqrt{7}) (3 - \sqrt{7}) + 2}{3 - \sqrt{7}}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Развернем $(78 - \sqrt{7}) (3 - \sqrt{7})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{\frac{78 (3 - \sqrt{7}) - \sqrt{7} (3 - \sqrt{7}) + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Этап 4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{\frac{78 \cdot 3 + 78 (- \sqrt{7}) - \sqrt{7} (3 - \sqrt{7}) + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{\frac{78 \cdot 3 + 78 (- \sqrt{7}) - \sqrt{7} \cdot 3 - \sqrt{7} (- \sqrt{7}) + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Этап 4.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $78$ на $3$ .

$\sqrt{\frac{234 + 78 (- \sqrt{7}) - \sqrt{7} \cdot 3 - \sqrt{7} (- \sqrt{7}) + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Этап 4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $78$ .

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - \sqrt{7} \cdot 3 - \sqrt{7} (- \sqrt{7}) + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Этап 4.2.1.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} - \sqrt{7} (- \sqrt{7}) + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Этап 4.2.1.4

Умножим $- \sqrt{7} (- \sqrt{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + 1 \sqrt{7} \sqrt{7} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Этап 4.2.1.4.2

Умножим $\sqrt{7}$ на $1$ .

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{7} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Этап 4.2.1.4.3

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Этап 4.2.1.4.4

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Этап 4.2.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{1 + 1} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Этап 4.2.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{2} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Этап 4.2.1.5

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Этап 4.2.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Этап 4.2.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + 7^{\frac{2}{2}} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Этап 4.2.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + 7^{\frac{2}{2}} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Этап 4.2.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + 7^{1} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Этап 4.2.1.5.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + 7 + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Этап 4.2.2

Добавим $234$ и $7$ .

$\sqrt{\frac{241 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Этап 4.2.3

Вычтем $3 \sqrt{7}$ из $- 78 \sqrt{7}$ .

$\sqrt{\frac{241 - 81 \sqrt{7} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Этап 4.3

Добавим $241$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{243 - 81 \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}}}$

Этап 5

Умножим $\frac{243 - 81 \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}}$ на $\frac{3 + \sqrt{7}}{3 + \sqrt{7}}$ .

$\sqrt{\frac{243 - 81 \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}} \cdot \frac{3 + \sqrt{7}}{3 + \sqrt{7}}}$

Этап 6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{243 - 81 \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}}$ на $\frac{3 + \sqrt{7}}{3 + \sqrt{7}}$ .

$\sqrt{\frac{(243 - 81 \sqrt{7}) (3 + \sqrt{7})}{(3 - \sqrt{7}) (3 + \sqrt{7})}}$

Этап 6.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\sqrt{\frac{(243 - 81 \sqrt{7}) (3 + \sqrt{7})}{9 + 3 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} - {\sqrt{7}}^{2}}}$

Этап 6.3

Упростим.

$\sqrt{\frac{(243 - 81 \sqrt{7}) (3 + \sqrt{7})}{2}}$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Развернем $(243 - 81 \sqrt{7}) (3 + \sqrt{7})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{\frac{243 (3 + \sqrt{7}) - 81 \sqrt{7} (3 + \sqrt{7})}{2}}$

Этап 7.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{\frac{243 \cdot 3 + 243 \sqrt{7} - 81 \sqrt{7} (3 + \sqrt{7})}{2}}$

Этап 7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{\frac{243 \cdot 3 + 243 \sqrt{7} - 81 \sqrt{7} \cdot 3 - 81 \sqrt{7} \sqrt{7}}{2}}$

Этап 7.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Умножим $243$ на $3$ .

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 81 \sqrt{7} \cdot 3 - 81 \sqrt{7} \sqrt{7}}{2}}$

Этап 7.2.1.2

Умножим $3$ на $- 81$ .

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 81 \sqrt{7} \sqrt{7}}{2}}$

Этап 7.2.1.3

Умножим $- 81 \sqrt{7} \sqrt{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.3.1

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 81 ({\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7})}{2}}$

Этап 7.2.1.3.2

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 81 ({\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1})}{2}}$

Этап 7.2.1.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 81 {\sqrt{7}}^{1 + 1}}{2}}$

Этап 7.2.1.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 81 {\sqrt{7}}^{2}}{2}}$

Этап 7.2.1.4

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 81 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}}$

Этап 7.2.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}}$

Этап 7.2.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{2}}$

Этап 7.2.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{2}}$

Этап 7.2.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{1}}{2}}$

Этап 7.2.1.4.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 81 \cdot 7}{2}}$

Этап 7.2.1.5

Умножим $- 81$ на $7$ .

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 567}{2}}$

Этап 7.2.2

Вычтем $567$ из $729$ .

$\sqrt{\frac{162 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7}}{2}}$

Этап 7.2.3

Вычтем $243 \sqrt{7}$ из $243 \sqrt{7}$ .

$\sqrt{\frac{162 + 0}{2}}$

Этап 7.2.4

Добавим $162$ и $0$ .

$\sqrt{\frac{162}{2}}$

Этап 8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим $162$ на $2$ .

$\sqrt{81}$

Этап 8.2

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$\sqrt{9^{2}}$

Этап 8.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$9$