Тригонометрия Примеры

$(9, \frac{7 π}{6})$

Этап 1

Чтобы найти $\sin (θ)$ угла между осью x и прямой, соединяющей точки $(0, 0)$ и $(9, \frac{7 π}{6})$ , нарисуем треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$ , $(9, 0)$ и $(9, \frac{7 π}{6})$ .

Противоположное: $\frac{7 π}{6}$

Смежный: $9$

Этап 2

Найдем гипотенузу, используя теорему Пифагора $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возведем $9$ в степень $2$ .

$\sqrt{81 + {(\frac{7 π}{6})}^{2}}$

Этап 2.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило умножения к $\frac{7 π}{6}$ .

$\sqrt{81 + \frac{{(7 π)}^{2}}{6^{2}}}$

Этап 2.2.2

Применим правило умножения к $7 π$ .

$\sqrt{81 + \frac{7^{2} π^{2}}{6^{2}}}$

Этап 2.3

Возведем $7$ в степень $2$ .

$\sqrt{81 + \frac{49 π^{2}}{6^{2}}}$

Этап 2.4

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\sqrt{81 + \frac{49 π^{2}}{36}}$

Этап 2.5

Чтобы записать $81$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{36}{36}$ .

$\sqrt{81 \cdot \frac{36}{36} + \frac{49 π^{2}}{36}}$

Этап 2.6

Объединим $81$ и $\frac{36}{36}$ .

$\sqrt{\frac{81 \cdot 36}{36} + \frac{49 π^{2}}{36}}$

Этап 2.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{81 \cdot 36 + 49 π^{2}}{36}}$

Этап 2.7.2

Умножим $81$ на $36$ .

$\sqrt{\frac{2916 + 49 π^{2}}{36}}$

Этап 2.8

Перепишем $\sqrt{\frac{2916 + 49 π^{2}}{36}}$ в виде $\frac{\sqrt{2916 + 49 π^{2}}}{\sqrt{36}}$ .

$\frac{\sqrt{2916 + 49 π^{2}}}{\sqrt{36}}$

Этап 2.9

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2916 + 49 π^{2}}}{\sqrt{6^{2}}}$

Этап 2.9.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\sqrt{2916 + 49 π^{2}}}{6}$

Этап 3

$\sin (θ) = \frac{Противоположные}{Гипотенуза}$ , следовательно $\sin (θ) = \frac{\frac{7 π}{6}}{\frac{\sqrt{2916 + 49 π^{2}}}{6}}$ .

$\frac{\frac{7 π}{6}}{\frac{\sqrt{2916 + 49 π^{2}}}{6}}$

Этап 4

Упростим $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sin (θ) = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{6}{\sqrt{2916 + 49 π^{2}}}$

Этап 4.2

Объединим.

$\sin (θ) = \frac{7 π \cdot 6}{6 \sqrt{2916 + 49 π^{2}}}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель.

$\sin (θ) = \frac{7 π \cdot 6}{6 \sqrt{2916 + 49 π^{2}}}$

Этап 4.3.2

Перепишем это выражение.

$\sin (θ) = \frac{7 π}{\sqrt{2916 + 49 π^{2}}}$

Этап 4.4

Умножим $\frac{7 π}{\sqrt{2916 + 49 π^{2}}}$ на $\frac{\sqrt{2916 + 49 π^{2}}}{\sqrt{2916 + 49 π^{2}}}$ .

$\sin (θ) = \frac{7 π}{\sqrt{2916 + 49 π^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{2916 + 49 π^{2}}}{\sqrt{2916 + 49 π^{2}}}$

Этап 4.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $\frac{7 π}{\sqrt{2916 + 49 π^{2}}}$ на $\frac{\sqrt{2916 + 49 π^{2}}}{\sqrt{2916 + 49 π^{2}}}$ .

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{2916 + 49 π^{2}}}{\sqrt{2916 + 49 π^{2}} \sqrt{2916 + 49 π^{2}}}$

Этап 4.5.2

Возведем $\sqrt{2916 + 49 π^{2}}$ в степень $1$ .

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{2916 + 49 π^{2}}}{\sqrt{2916 + 49 π^{2}} \sqrt{2916 + 49 π^{2}}}$

Этап 4.5.3

Возведем $\sqrt{2916 + 49 π^{2}}$ в степень $1$ .

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{2916 + 49 π^{2}}}{\sqrt{2916 + 49 π^{2}} \sqrt{2916 + 49 π^{2}}}$

Этап 4.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{2916 + 49 π^{2}}}{{\sqrt{2916 + 49 π^{2}}}^{1 + 1}}$

Этап 4.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{2916 + 49 π^{2}}}{{\sqrt{2916 + 49 π^{2}}}^{2}}$

Этап 4.5.6

Перепишем ${\sqrt{2916 + 49 π^{2}}}^{2}$ в виде $2916 + 49 π^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2916 + 49 π^{2}}$ в виде ${(2916 + 49 π^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{2916 + 49 π^{2}}}{{({(2916 + 49 π^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{2916 + 49 π^{2}}}{{(2916 + 49 π^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.5.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{2916 + 49 π^{2}}}{{(2916 + 49 π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.5.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{2916 + 49 π^{2}}}{{(2916 + 49 π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{2916 + 49 π^{2}}}{2916 + 49 π^{2}}$

Этап 4.5.6.5

Упростим.

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{2916 + 49 π^{2}}}{2916 + 49 π^{2}}$

Этап 5

Аппроксимируем результат.

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{2916 + 49 π^{2}}}{2916 + 49 π^{2}} \approx 0.37716668$