Тригонометрия Примеры

$y = 3 \cos (x - 3) + 1$

Этап 1

Применим форму $a \cos (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = 3$

$b = 1$

$c = 3$

$d = 1$

Этап 2

Найдем амплитуду $| a |$ .

Амплитуда: $3$

Этап 3

Найдем период, используя формулу $\frac{2 π}{| b |}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем период $3 \cos (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.1.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.1.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.2

Найдем период $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.2.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.2.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.3

Период суммы/разности тригонометрических функций равен наибольшему из отдельных периодов.

$2 π$

Этап 4

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 4.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{3}{1}$

Этап 4.3

Разделим $3$ на $1$ .

Сдвиг фазы: $3$

Этап 5

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: $3$

Период: $2 π$

Сдвиг фазы: $3$ ( $3$ вправо)

Смещение по вертикали: $1$

Этап 6

Выберем несколько точек для построения графика.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем точку в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = 3 \cos ((3) - 3) + 1$

Этап 6.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$f (3) = 3 \cos (0) + 1$

Этап 6.1.2.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (3) = 3 \cdot 1 + 1$

Этап 6.1.2.1.3

Умножим $3$ на $1$ .

$f (3) = 3 + 1$

Этап 6.1.2.2

Добавим $3$ и $1$ .

$f (3) = 4$

Этап 6.1.2.3

Окончательный ответ: $4$ .

$4$

Этап 6.2

Найдем точку в $x = \frac{π}{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{2} + 3$ .

$f (\frac{π}{2} + 3) = 3 \cos ((\frac{π}{2} + 3) - 3) + 1$

Этап 6.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$f (\frac{π}{2} + 3) = 3 \cos (\frac{π}{2} + 0) + 1$

Этап 6.2.2.1.2

Добавим $\frac{π}{2}$ и $0$ .

$f (\frac{π}{2} + 3) = 3 \cos (\frac{π}{2}) + 1$

Этап 6.2.2.1.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{π}{2} + 3) = 3 \cdot 0 + 1$

Этап 6.2.2.1.4

Умножим $3$ на $0$ .

$f (\frac{π}{2} + 3) = 0 + 1$

Этап 6.2.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$f (\frac{π}{2} + 3) = 1$

Этап 6.2.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 6.3

Найдем точку в $x = π + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $π + 3$ .

$f (π + 3) = 3 \cos ((π + 3) - 3) + 1$

Этап 6.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$f (π + 3) = 3 \cos (π + 0) + 1$

Этап 6.3.2.1.2

Добавим $π$ и $0$ .

$f (π + 3) = 3 \cos (π) + 1$

Этап 6.3.2.1.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$f (π + 3) = 3 (- \cos (0)) + 1$

Этап 6.3.2.1.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (π + 3) = 3 (- 1 \cdot 1) + 1$

Этап 6.3.2.1.5

Умножим $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.5.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (π + 3) = 3 \cdot - 1 + 1$

Этап 6.3.2.1.5.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f (π + 3) = - 3 + 1$

Этап 6.3.2.2

Добавим $- 3$ и $1$ .

$f (π + 3) = - 2$

Этап 6.3.2.3

Окончательный ответ: $- 2$ .

$- 2$

Этап 6.4

Найдем точку в $x = \frac{3 π}{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{2} + 3$ .

$f (\frac{3 π}{2} + 3) = 3 \cos ((\frac{3 π}{2} + 3) - 3) + 1$

Этап 6.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$f (\frac{3 π}{2} + 3) = 3 \cos (\frac{3 π}{2} + 0) + 1$

Этап 6.4.2.1.2

Добавим $\frac{3 π}{2}$ и $0$ .

$f (\frac{3 π}{2} + 3) = 3 \cos (\frac{3 π}{2}) + 1$

Этап 6.4.2.1.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (\frac{3 π}{2} + 3) = 3 \cos (\frac{π}{2}) + 1$

Этап 6.4.2.1.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{3 π}{2} + 3) = 3 \cdot 0 + 1$

Этап 6.4.2.1.5

Умножим $3$ на $0$ .

$f (\frac{3 π}{2} + 3) = 0 + 1$

Этап 6.4.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$f (\frac{3 π}{2} + 3) = 1$

Этап 6.4.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 6.5

Найдем точку в $x = 2 π + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2 π + 3$ .

$f (2 π + 3) = 3 \cos ((2 π + 3) - 3) + 1$

Этап 6.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$f (2 π + 3) = 3 \cos (2 π + 0) + 1$

Этап 6.5.2.1.2

Добавим $2 π$ и $0$ .

$f (2 π + 3) = 3 \cos (2 π) + 1$

Этап 6.5.2.1.3

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (2 π + 3) = 3 \cos (0) + 1$

Этап 6.5.2.1.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (2 π + 3) = 3 \cdot 1 + 1$

Этап 6.5.2.1.5

Умножим $3$ на $1$ .

$f (2 π + 3) = 3 + 1$

Этап 6.5.2.2

Добавим $3$ и $1$ .

$f (2 π + 3) = 4$

Этап 6.5.2.3

Окончательный ответ: $4$ .

$4$

Этап 6.6

Перечислим точки в таблице.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 3 & 4 \\ \frac{π}{2} + 3 & 1 \\ π + 3 & - 2 \\ \frac{3 π}{2} + 3 & 1 \\ 2 π + 3 & 4 \end{array}$

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Амплитуда: $3$

Период: $2 π$

Сдвиг фазы: $3$ ( $3$ вправо)

Смещение по вертикали: $1$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 3 & 4 \\ \frac{π}{2} + 3 & 1 \\ π + 3 & - 2 \\ \frac{3 π}{2} + 3 & 1 \\ 2 π + 3 & 4 \end{array}$

Этап 8