Тригонометрия Примеры

$(- \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2})$

Этап 1

Чтобы найти $\cos (θ)$ угла между осью x и прямой, соединяющей точки $(0, 0)$ и $(- \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2})$ , нарисуем треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$ , $(- \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, 0)$ и $(- \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2})$ .

Противоположное: $\frac{1}{2}$

Смежный: $- \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Этап 2

Найдем гипотенузу, используя теорему Пифагора $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{{(- (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.2.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.2.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.2.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.2.6.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.3.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.4

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.4.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\sqrt{1 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.5.2

Умножим $\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.6

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{6^{1}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.6.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{6}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.7

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{6}{4} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.8

Сократим общий множитель $6$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\sqrt{\frac{2 (3)}{4} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{3}{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{3}{2} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Этап 2.9.2

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{\frac{3}{2} + \frac{1}{2^{2}}}$

Этап 2.9.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{3}{2} + \frac{1}{4}}$

Этап 2.10

Чтобы записать $\frac{3}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{4}}$

Этап 2.11

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{4}}$

Этап 2.11.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{4} + \frac{1}{4}}$

Этап 2.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2 + 1}{4}}$

Этап 2.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\sqrt{\frac{6 + 1}{4}}$

Этап 2.13.2

Добавим $6$ и $1$ .

$\sqrt{\frac{7}{4}}$

Этап 2.14

Перепишем $\sqrt{\frac{7}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{4}}$

Этап 2.15

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 2.15.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\sqrt{7}}{2}$

Этап 3

$\cos (θ) = \frac{Смежные}{Гипотенуза}$ , следовательно $\cos (θ) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}$

Этап 4

Упростим $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Этап 4.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Этап 4.3.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Этап 4.3.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Этап 4.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Этап 4.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Этап 4.3.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Этап 4.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Этап 4.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Этап 4.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Этап 4.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Этап 4.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Этап 4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$ в числитель.

$\cos (θ) = \frac{- \sqrt{3} \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Этап 4.4.2

Сократим общий множитель.

$\cos (θ) = \frac{- \sqrt{3} \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Этап 4.4.3

Перепишем это выражение.

$\cos (θ) = - \sqrt{3} \sqrt{2} \frac{1}{\sqrt{7}}$

Этап 4.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\cos (θ) = - \sqrt{2 \cdot 3} \frac{1}{\sqrt{7}}$

Этап 4.6

Умножим $2$ на $3$ .

$\cos (θ) = - \sqrt{6} \frac{1}{\sqrt{7}}$

Этап 4.7

Объединим $\frac{1}{\sqrt{7}}$ и $\sqrt{6}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$

Этап 4.8

Умножим $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$ на $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\cos (θ) = - (\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})$

Этап 4.9

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Умножим $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$ на $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Этап 4.9.2

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Этап 4.9.3

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Этап 4.9.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Этап 4.9.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Этап 4.9.6

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.9.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.9.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.9.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.9.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7}$

Этап 4.9.6.5

Найдем экспоненту.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7}$

Этап 4.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6 \cdot 7}}{7}$

Этап 4.10.2

Умножим $6$ на $7$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{42}}{7}$

Этап 5

Аппроксимируем результат.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{42}}{7} \approx - 0.92582009$