Тригонометрия Примеры

$(\frac{5}{8}, - \sqrt{\frac{39}{8}})$

Этап 1

Чтобы найти $\cos (θ)$ угла между осью x и прямой, соединяющей точки $(0, 0)$ и $(\frac{5}{8}, - \sqrt{\frac{39}{8}})$ , нарисуем треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$ , $(\frac{5}{8}, 0)$ и $(\frac{5}{8}, - \sqrt{\frac{39}{8}})$ .

Противоположное: $- \sqrt{\frac{39}{8}}$

Смежный: $\frac{5}{8}$

Этап 2

Найдем гипотенузу, используя теорему Пифагора $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило умножения к $\frac{5}{8}$ .

$\sqrt{\frac{5^{2}}{8^{2}} + {(- \sqrt{\frac{39}{8}})}^{2}}$

Этап 2.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{8^{2}} + {(- \sqrt{\frac{39}{8}})}^{2}}$

Этап 2.3

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \sqrt{\frac{39}{8}})}^{2}}$

Этап 2.4

Перепишем $\sqrt{\frac{39}{8}}$ в виде $\frac{\sqrt{39}}{\sqrt{8}}$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39}}{\sqrt{8}})}^{2}}$

Этап 2.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39}}{\sqrt{4 (2)}})}^{2}}$

Этап 2.5.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}})}^{2}}$

Этап 2.5.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39}}{2 \sqrt{2}})}^{2}}$

Этап 2.6

Умножим $\frac{\sqrt{39}}{2 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- (\frac{\sqrt{39}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))}^{2}}$

Этап 2.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $\frac{\sqrt{39}}{2 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}}$

Этап 2.7.2

Перенесем $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})})}^{2}}$

Этап 2.7.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})})}^{2}}$

Этап 2.7.4

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})})}^{2}}$

Этап 2.7.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}}$

Этап 2.7.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}})}^{2}}$

Этап 2.7.7

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}}$

Этап 2.7.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}}$

Этап 2.7.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

Этап 2.7.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

Этап 2.7.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}})}^{2}}$

Этап 2.7.7.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})}^{2}}$

Этап 2.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39 \cdot 2}}{2 \cdot 2})}^{2}}$

Этап 2.8.2

Умножим $39$ на $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{78}}{2 \cdot 2})}^{2}}$

Этап 2.9

Умножим $2$ на $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{78}}{4})}^{2}}$

Этап 2.10

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{78}}{4}$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{78}}{4})}^{2}}$

Этап 2.10.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{78}}{4}$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{78}}^{2}}{4^{2}}}$

Этап 2.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + 1 \frac{{\sqrt{78}}^{2}}{4^{2}}}$

Этап 2.11.2

Умножим $\frac{{\sqrt{78}}^{2}}{4^{2}}$ на $1$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{{\sqrt{78}}^{2}}{4^{2}}}$

Этап 2.12

Перепишем ${\sqrt{78}}^{2}$ в виде $78$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{78}$ в виде $78^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{{(78^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}}}$

Этап 2.12.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{78^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}}}$

Этап 2.12.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{78^{\frac{2}{2}}}{4^{2}}}$

Этап 2.12.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{78^{\frac{2}{2}}}{4^{2}}}$

Этап 2.12.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{78^{1}}{4^{2}}}$

Этап 2.12.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{78}{4^{2}}}$

Этап 2.13

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{78}{16}}$

Этап 2.14

Сократим общий множитель $78$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Вынесем множитель $2$ из $78$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{2 (39)}{16}}$

Этап 2.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{2 \cdot 39}{2 \cdot 8}}$

Этап 2.14.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{2 \cdot 39}{2 \cdot 8}}$

Этап 2.14.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{39}{8}}$

Этап 2.15

Чтобы записать $\frac{39}{8}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{39}{8} \cdot \frac{8}{8}}$

Этап 2.16

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $64$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.1

Умножим $\frac{39}{8}$ на $\frac{8}{8}$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{39 \cdot 8}{8 \cdot 8}}$

Этап 2.16.2

Умножим $8$ на $8$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{39 \cdot 8}{64}}$

Этап 2.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{25 + 39 \cdot 8}{64}}$

Этап 2.18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.1

Умножим $39$ на $8$ .

$\sqrt{\frac{25 + 312}{64}}$

Этап 2.18.2

Добавим $25$ и $312$ .

$\sqrt{\frac{337}{64}}$

Этап 2.19

Перепишем $\sqrt{\frac{337}{64}}$ в виде $\frac{\sqrt{337}}{\sqrt{64}}$ .

$\frac{\sqrt{337}}{\sqrt{64}}$

Этап 2.20

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.20.1

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$\frac{\sqrt{337}}{\sqrt{8^{2}}}$

Этап 2.20.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\sqrt{337}}{8}$

Этап 3

$\cos (θ) = \frac{Смежные}{Гипотенуза}$ , следовательно $\cos (θ) = \frac{\frac{5}{8}}{\frac{\sqrt{337}}{8}}$ .

$\frac{\frac{5}{8}}{\frac{\sqrt{337}}{8}}$

Этап 4

Упростим $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\cos (θ) = \frac{5}{8} \cdot \frac{8}{\sqrt{337}}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель.

$\cos (θ) = \frac{5}{8} \cdot \frac{8}{\sqrt{337}}$

Этап 4.2.2

Перепишем это выражение.

$\cos (θ) = 5 (\frac{1}{\sqrt{337}})$

Этап 4.3

Объединим $5$ и $\frac{1}{\sqrt{337}}$ .

$\cos (θ) = \frac{5}{\sqrt{337}}$

Этап 4.4

Умножим $\frac{5}{\sqrt{337}}$ на $\frac{\sqrt{337}}{\sqrt{337}}$ .

$\cos (θ) = \frac{5}{\sqrt{337}} \cdot \frac{\sqrt{337}}{\sqrt{337}}$

Этап 4.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $\frac{5}{\sqrt{337}}$ на $\frac{\sqrt{337}}{\sqrt{337}}$ .

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{337}}{\sqrt{337} \sqrt{337}}$

Этап 4.5.2

Возведем $\sqrt{337}$ в степень $1$ .

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{337}}{\sqrt{337} \sqrt{337}}$

Этап 4.5.3

Возведем $\sqrt{337}$ в степень $1$ .

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{337}}{\sqrt{337} \sqrt{337}}$

Этап 4.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{337}}{{\sqrt{337}}^{1 + 1}}$

Этап 4.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{337}}{{\sqrt{337}}^{2}}$

Этап 4.5.6

Перепишем ${\sqrt{337}}^{2}$ в виде $337$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{337}$ в виде $337^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{337}}{{(337^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{337}}{337^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.5.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{337}}{337^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.5.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{337}}{337^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{337}}{337}$

Этап 4.5.6.5

Найдем экспоненту.

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{337}}{337}$

Этап 5

Аппроксимируем результат.

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{337}}{337} \approx 0.27236735$