Тригонометрия Примеры

$(32, \frac{π}{4})$

Этап 1

Чтобы найти $\sin (θ)$ угла между осью x и прямой, соединяющей точки $(0, 0)$ и $(32, \frac{π}{4})$ , нарисуем треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$ , $(32, 0)$ и $(32, \frac{π}{4})$ .

Противоположное: $\frac{π}{4}$

Смежный: $32$

Этап 2

Найдем гипотенузу, используя теорему Пифагора $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возведем $32$ в степень $2$ .

$\sqrt{1024 + {(\frac{π}{4})}^{2}}$

Этап 2.2

Применим правило умножения к $\frac{π}{4}$ .

$\sqrt{1024 + \frac{π^{2}}{4^{2}}}$

Этап 2.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\sqrt{1024 + \frac{π^{2}}{16}}$

Этап 2.4

Чтобы записать $1024$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{1024 \cdot \frac{16}{16} + \frac{π^{2}}{16}}$

Этап 2.5

Объединим $1024$ и $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{1024 \cdot 16}{16} + \frac{π^{2}}{16}}$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{1024 \cdot 16 + π^{2}}{16}}$

Этап 2.6.2

Умножим $1024$ на $16$ .

$\sqrt{\frac{16384 + π^{2}}{16}}$

Этап 2.7

Перепишем $\sqrt{\frac{16384 + π^{2}}{16}}$ в виде $\frac{\sqrt{16384 + π^{2}}}{\sqrt{16}}$ .

$\frac{\sqrt{16384 + π^{2}}}{\sqrt{16}}$

Этап 2.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{16384 + π^{2}}}{\sqrt{4^{2}}}$

Этап 2.8.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\sqrt{16384 + π^{2}}}{4}$

Этап 3

$\sin (θ) = \frac{Противоположные}{Гипотенуза}$ , следовательно $\sin (θ) = \frac{\frac{π}{4}}{\frac{\sqrt{16384 + π^{2}}}{4}}$ .

$\frac{\frac{π}{4}}{\frac{\sqrt{16384 + π^{2}}}{4}}$

Этап 4

Упростим $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sin (θ) = \frac{π}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{16384 + π^{2}}}$

Этап 4.2

Объединим.

$\sin (θ) = \frac{π \cdot 4}{4 \sqrt{16384 + π^{2}}}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель.

$\sin (θ) = \frac{π \cdot 4}{4 \sqrt{16384 + π^{2}}}$

Этап 4.3.2

Перепишем это выражение.

$\sin (θ) = \frac{π}{\sqrt{16384 + π^{2}}}$

Этап 4.4

Умножим $\frac{π}{\sqrt{16384 + π^{2}}}$ на $\frac{\sqrt{16384 + π^{2}}}{\sqrt{16384 + π^{2}}}$ .

$\sin (θ) = \frac{π}{\sqrt{16384 + π^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{16384 + π^{2}}}{\sqrt{16384 + π^{2}}}$

Этап 4.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $\frac{π}{\sqrt{16384 + π^{2}}}$ на $\frac{\sqrt{16384 + π^{2}}}{\sqrt{16384 + π^{2}}}$ .

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{16384 + π^{2}}}{\sqrt{16384 + π^{2}} \sqrt{16384 + π^{2}}}$

Этап 4.5.2

Возведем $\sqrt{16384 + π^{2}}$ в степень $1$ .

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{16384 + π^{2}}}{\sqrt{16384 + π^{2}} \sqrt{16384 + π^{2}}}$

Этап 4.5.3

Возведем $\sqrt{16384 + π^{2}}$ в степень $1$ .

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{16384 + π^{2}}}{\sqrt{16384 + π^{2}} \sqrt{16384 + π^{2}}}$

Этап 4.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{16384 + π^{2}}}{{\sqrt{16384 + π^{2}}}^{1 + 1}}$

Этап 4.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{16384 + π^{2}}}{{\sqrt{16384 + π^{2}}}^{2}}$

Этап 4.5.6

Перепишем ${\sqrt{16384 + π^{2}}}^{2}$ в виде $16384 + π^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{16384 + π^{2}}$ в виде ${(16384 + π^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{16384 + π^{2}}}{{({(16384 + π^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{16384 + π^{2}}}{{(16384 + π^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.5.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{16384 + π^{2}}}{{(16384 + π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.5.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{16384 + π^{2}}}{{(16384 + π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{16384 + π^{2}}}{16384 + π^{2}}$

Этап 4.5.6.5

Упростим.

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{16384 + π^{2}}}{16384 + π^{2}}$

Этап 5

Аппроксимируем результат.

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{16384 + π^{2}}}{16384 + π^{2}} \approx 0.0245363$