Тригонометрия Примеры

$\frac{7 \sqrt{21} + 7 i \sqrt{7}}{\sqrt{7} + i \sqrt{21}}$

Этап 1

Умножим $\frac{7 \sqrt{21} + 7 i \sqrt{7}}{\sqrt{7} + i \sqrt{21}}$ на $\frac{\sqrt{7} - i \sqrt{21}}{\sqrt{7} - i \sqrt{21}}$ .

$\frac{7 \sqrt{21} + 7 i \sqrt{7}}{\sqrt{7} + i \sqrt{21}} \cdot \frac{\sqrt{7} - i \sqrt{21}}{\sqrt{7} - i \sqrt{21}}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{7 \sqrt{21} + 7 i \sqrt{7}}{\sqrt{7} + i \sqrt{21}}$ на $\frac{\sqrt{7} - i \sqrt{21}}{\sqrt{7} - i \sqrt{21}}$ .

$\frac{(7 \sqrt{21} + 7 i \sqrt{7}) (\sqrt{7} - i \sqrt{21})}{(\sqrt{7} + i \sqrt{21}) (\sqrt{7} - i \sqrt{21})}$

Этап 2.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(7 \sqrt{21} + 7 i \sqrt{7}) (\sqrt{7} - i \sqrt{21})}{{\sqrt{7}}^{2} - i \sqrt{147} + i \sqrt{147} - i^{2} {\sqrt{21}}^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

$\frac{(7 \sqrt{21} + 7 i \sqrt{7}) (\sqrt{7} - i \sqrt{21})}{28}$

Этап 2.4

Сократим общий множитель $7 \sqrt{21} + 7 i \sqrt{7}$ и $28$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вынесем множитель $7$ из $(7 \sqrt{21} + 7 i \sqrt{7}) (\sqrt{7} - i \sqrt{21})$ .

$\frac{7 ((\sqrt{21} + i \sqrt{7}) (\sqrt{7} - i \sqrt{21}))}{28}$

Этап 2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вынесем множитель $7$ из $28$ .

$\frac{7 ((\sqrt{21} + i \sqrt{7}) (\sqrt{7} - i \sqrt{21}))}{7 (4)}$

Этап 2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{7 ((\sqrt{21} + i \sqrt{7}) (\sqrt{7} - i \sqrt{21}))}{7 \cdot 4}$

Этап 2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(\sqrt{21} + i \sqrt{7}) (\sqrt{7} - i \sqrt{21})}{4}$

Этап 3

Развернем $(\sqrt{21} + i \sqrt{7}) (\sqrt{7} - i \sqrt{21})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{21} (\sqrt{7} - i \sqrt{21}) + i \sqrt{7} (\sqrt{7} - i \sqrt{21})}{4}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{21} \sqrt{7} + \sqrt{21} (- i \sqrt{21}) + i \sqrt{7} (\sqrt{7} - i \sqrt{21})}{4}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{21} \sqrt{7} + \sqrt{21} (- i \sqrt{21}) + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Этап 4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{21 \cdot 7} + \sqrt{21} (- i \sqrt{21}) + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Этап 4.1.2

Умножим $21$ на $7$ .

$\frac{\sqrt{147} + \sqrt{21} (- i \sqrt{21}) + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Этап 4.1.3

Перепишем $147$ в виде $7^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Вынесем множитель $49$ из $147$ .

$\frac{\sqrt{49 (3)} + \sqrt{21} (- i \sqrt{21}) + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Этап 4.1.3.2

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$\frac{\sqrt{7^{2} \cdot 3} + \sqrt{21} (- i \sqrt{21}) + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Этап 4.1.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{7 \sqrt{3} + \sqrt{21} (- i \sqrt{21}) + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Этап 4.1.5

Умножим $\sqrt{21} (- i \sqrt{21})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Возведем $\sqrt{21}$ в степень $1$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - i ({\sqrt{21}}^{1} \sqrt{21}) + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Этап 4.1.5.2

Возведем $\sqrt{21}$ в степень $1$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - i ({\sqrt{21}}^{1} {\sqrt{21}}^{1}) + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Этап 4.1.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{7 \sqrt{3} - i {\sqrt{21}}^{1 + 1} + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Этап 4.1.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - i {\sqrt{21}}^{2} + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Этап 4.1.6

Перепишем ${\sqrt{21}}^{2}$ в виде $21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{21}$ в виде $21^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - i {(21^{\frac{1}{2}})}^{2} + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Этап 4.1.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - i \cdot 21^{\frac{1}{2} \cdot 2} + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Этап 4.1.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - i \cdot 21^{\frac{2}{2}} + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Этап 4.1.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 \sqrt{3} - i \cdot 21^{\frac{2}{2}} + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Этап 4.1.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{7 \sqrt{3} - i \cdot 21^{1} + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Этап 4.1.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{7 \sqrt{3} - i \cdot 21 + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Этап 4.1.7

Умножим $21$ на $- 1$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Этап 4.1.8

Умножим $i \sqrt{7} \sqrt{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + i ({\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}) + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Этап 4.1.8.2

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + i ({\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}) + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Этап 4.1.8.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + i {\sqrt{7}}^{1 + 1} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Этап 4.1.8.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + i {\sqrt{7}}^{2} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Этап 4.1.9

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.9.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + i {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Этап 4.1.9.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + i \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Этап 4.1.9.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + i \cdot 7^{\frac{2}{2}} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Этап 4.1.9.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.9.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + i \cdot 7^{\frac{2}{2}} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Этап 4.1.9.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + i \cdot 7^{1} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Этап 4.1.9.5

Найдем экспоненту.

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + i \cdot 7 + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Этап 4.1.10

Перенесем $7$ влево от $i$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 \cdot i + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Этап 4.1.11

Умножим $i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.11.1

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i + \sqrt{7} (- (i^{1} i) \sqrt{21})}{4}$

Этап 4.1.11.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i + \sqrt{7} (- (i^{1} i^{1}) \sqrt{21})}{4}$

Этап 4.1.11.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i + \sqrt{7} (- i^{1 + 1} \sqrt{21})}{4}$

Этап 4.1.11.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i + \sqrt{7} (- i^{2} \sqrt{21})}{4}$

Этап 4.1.11.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i - i^{2} \sqrt{7 \cdot 21}}{4}$

Этап 4.1.11.6

Умножим $7$ на $21$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i - i^{2} \sqrt{147}}{4}$

Этап 4.1.12

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i - - 1 \sqrt{147}}{4}$

Этап 4.1.13

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i + 1 \sqrt{147}}{4}$

Этап 4.1.14

Умножим $\sqrt{147}$ на $1$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i + \sqrt{147}}{4}$

Этап 4.1.15

Перепишем $147$ в виде $7^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.15.1

Вынесем множитель $49$ из $147$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i + \sqrt{49 (3)}}{4}$

Этап 4.1.15.2

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i + \sqrt{7^{2} \cdot 3}}{4}$

Этап 4.1.16

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i + 7 \sqrt{3}}{4}$

Этап 4.2

Добавим $7 \sqrt{3}$ и $7 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 21 i + 7 i + 14 \sqrt{3}}{4}$

Этап 4.3

Добавим $- 21 i$ и $7 i$ .

$\frac{- 14 i + 14 \sqrt{3}}{4}$

Этап 5

Изменим порядок $- 14 i$ и $14 \sqrt{3}$ .

$\frac{14 \sqrt{3} - 14 i}{4}$

Этап 6

Сократим общий множитель $14 \sqrt{3} - 14 i$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $2$ из $14 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (7 \sqrt{3}) - 14 i}{4}$

Этап 6.2

Вынесем множитель $2$ из $- 14 i$ .

$\frac{2 (7 \sqrt{3}) + 2 (- 7 i)}{4}$

Этап 6.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (7 \sqrt{3}) + 2 (- 7 i)$ .

$\frac{2 (7 \sqrt{3} - 7 i)}{4}$

Этап 6.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 (7 \sqrt{3} - 7 i)}{2 (2)}$

Этап 6.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (7 \sqrt{3} - 7 i)}{2 \cdot 2}$

Этап 6.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{7 \sqrt{3} - 7 i}{2}$