Тригонометрия Примеры

$(\frac{5}{6}, \sqrt{\frac{11}{6}})$

Этап 1

Чтобы найти $\sin (θ)$ угла между осью x и прямой, соединяющей точки $(0, 0)$ и $(\frac{5}{6}, \sqrt{\frac{11}{6}})$ , нарисуем треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$ , $(\frac{5}{6}, 0)$ и $(\frac{5}{6}, \sqrt{\frac{11}{6}})$ .

Противоположное: $\sqrt{\frac{11}{6}}$

Смежный: $\frac{5}{6}$

Этап 2

Найдем гипотенузу, используя теорему Пифагора $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило умножения к $\frac{5}{6}$ .

$\sqrt{\frac{5^{2}}{6^{2}} + {(\sqrt{\frac{11}{6}})}^{2}}$

Этап 2.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{6^{2}} + {(\sqrt{\frac{11}{6}})}^{2}}$

Этап 2.3

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\sqrt{\frac{11}{6}})}^{2}}$

Этап 2.4

Перепишем $\sqrt{\frac{11}{6}}$ в виде $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}}$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}})}^{2}}$

Этап 2.5

Умножим $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}}$ на $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})}^{2}}$

Этап 2.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}}$ на $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}})}^{2}}$

Этап 2.6.2

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}})}^{2}}$

Этап 2.6.3

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}})}^{2}}$

Этап 2.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}})}^{2}}$

Этап 2.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}})}^{2}}$

Этап 2.6.6

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}}$

Этап 2.6.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}}$

Этап 2.6.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

Этап 2.6.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

Этап 2.6.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{6^{1}})}^{2}}$

Этап 2.6.6.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Этап 2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11 \cdot 6}}{6})}^{2}}$

Этап 2.7.2

Умножим $11$ на $6$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{66}}{6})}^{2}}$

Этап 2.8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{66}}{6}$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{{\sqrt{66}}^{2}}{6^{2}}}$

Этап 2.8.2

Перепишем ${\sqrt{66}}^{2}$ в виде $66$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{66}$ в виде $66^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{{(66^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6^{2}}}$

Этап 2.8.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{66^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6^{2}}}$

Этап 2.8.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{66^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}}$

Этап 2.8.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{66^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}}$

Этап 2.8.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{66^{1}}{6^{2}}}$

Этап 2.8.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{66}{6^{2}}}$

Этап 2.8.3

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{66}{36}}$

Этап 2.8.4

Сократим общий множитель $66$ и $36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.4.1

Вынесем множитель $6$ из $66$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{6 (11)}{36}}$

Этап 2.8.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.4.2.1

Вынесем множитель $6$ из $36$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{6 \cdot 11}{6 \cdot 6}}$

Этап 2.8.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{6 \cdot 11}{6 \cdot 6}}$

Этап 2.8.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{11}{6}}$

Этап 2.9

Чтобы записать $\frac{11}{6}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{11}{6} \cdot \frac{6}{6}}$

Этап 2.10

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $36$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Умножим $\frac{11}{6}$ на $\frac{6}{6}$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{11 \cdot 6}{6 \cdot 6}}$

Этап 2.10.2

Умножим $6$ на $6$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{11 \cdot 6}{36}}$

Этап 2.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{25 + 11 \cdot 6}{36}}$

Этап 2.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Умножим $11$ на $6$ .

$\sqrt{\frac{25 + 66}{36}}$

Этап 2.12.2

Добавим $25$ и $66$ .

$\sqrt{\frac{91}{36}}$

Этап 2.13

Перепишем $\sqrt{\frac{91}{36}}$ в виде $\frac{\sqrt{91}}{\sqrt{36}}$ .

$\frac{\sqrt{91}}{\sqrt{36}}$

Этап 2.14

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{91}}{\sqrt{6^{2}}}$

Этап 2.14.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\sqrt{91}}{6}$

Этап 3

$\sin (θ) = \frac{Противоположные}{Гипотенуза}$ , следовательно $\sin (θ) = \frac{\sqrt{\frac{11}{6}}}{\frac{\sqrt{91}}{6}}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{11}{6}}}{\frac{\sqrt{91}}{6}}$

Этап 4

Упростим $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sin (θ) = \sqrt{\frac{11}{6}} (\frac{6}{\sqrt{91}})$

Этап 4.2

Перепишем $\sqrt{\frac{11}{6}}$ в виде $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Этап 4.3

Умножим $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}}$ на $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Этап 4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}}$ на $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Этап 4.4.2

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Этап 4.4.3

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Этап 4.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Этап 4.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Этап 4.4.6

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Этап 4.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Этап 4.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Этап 4.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Этап 4.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{6} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Этап 4.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{6} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Этап 4.5

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Сократим общий множитель.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{6} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Этап 4.5.2

Перепишем это выражение.

$\sin (θ) = \sqrt{11} \sqrt{6} (\frac{1}{\sqrt{91}})$

Этап 4.6

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\sin (θ) = \sqrt{11 \cdot 6} (\frac{1}{\sqrt{91}})$

Этап 4.7

Умножим $11$ на $6$ .

$\sin (θ) = \sqrt{66} (\frac{1}{\sqrt{91}})$

Этап 4.8

Объединим $\sqrt{66}$ и $\frac{1}{\sqrt{91}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66}}{\sqrt{91}}$

Этап 4.9

Умножим $\frac{\sqrt{66}}{\sqrt{91}}$ на $\frac{\sqrt{91}}{\sqrt{91}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66}}{\sqrt{91}} \cdot \frac{\sqrt{91}}{\sqrt{91}}$

Этап 4.10

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Умножим $\frac{\sqrt{66}}{\sqrt{91}}$ на $\frac{\sqrt{91}}{\sqrt{91}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66} \sqrt{91}}{\sqrt{91} \sqrt{91}}$

Этап 4.10.2

Возведем $\sqrt{91}$ в степень $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66} \sqrt{91}}{\sqrt{91} \sqrt{91}}$

Этап 4.10.3

Возведем $\sqrt{91}$ в степень $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66} \sqrt{91}}{\sqrt{91} \sqrt{91}}$

Этап 4.10.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66} \sqrt{91}}{{\sqrt{91}}^{1 + 1}}$

Этап 4.10.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66} \sqrt{91}}{{\sqrt{91}}^{2}}$

Этап 4.10.6

Перепишем ${\sqrt{91}}^{2}$ в виде $91$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{91}$ в виде $91^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66} \sqrt{91}}{{(91^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.10.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66} \sqrt{91}}{91^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.10.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66} \sqrt{91}}{91^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.10.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66} \sqrt{91}}{91^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.10.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66} \sqrt{91}}{91}$

Этап 4.10.6.5

Найдем экспоненту.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66} \sqrt{91}}{91}$

Этап 4.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66 \cdot 91}}{91}$

Этап 4.11.2

Умножим $66$ на $91$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6006}}{91}$

Этап 5

Аппроксимируем результат.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6006}}{91} \approx 0.85163062$