Тригонометрия Примеры

$(\frac{9}{11}, \frac{40}{41})$

Этап 1

Чтобы найти $\sin (θ)$ угла между осью x и прямой, соединяющей точки $(0, 0)$ и $(\frac{9}{11}, \frac{40}{41})$ , нарисуем треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$ , $(\frac{9}{11}, 0)$ и $(\frac{9}{11}, \frac{40}{41})$ .

Противоположное: $\frac{40}{41}$

Смежный: $\frac{9}{11}$

Этап 2

Найдем гипотенузу, используя теорему Пифагора $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило умножения к $\frac{9}{11}$ .

$\sqrt{\frac{9^{2}}{11^{2}} + {(\frac{40}{41})}^{2}}$

Этап 2.2

Возведем $9$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{11^{2}} + {(\frac{40}{41})}^{2}}$

Этап 2.3

Возведем $11$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{121} + {(\frac{40}{41})}^{2}}$

Этап 2.4

Применим правило умножения к $\frac{40}{41}$ .

$\sqrt{\frac{81}{121} + \frac{40^{2}}{41^{2}}}$

Этап 2.5

Возведем $40$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{121} + \frac{1600}{41^{2}}}$

Этап 2.6

Возведем $41$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{121} + \frac{1600}{1681}}$

Этап 2.7

Чтобы записать $\frac{81}{121}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1681}{1681}$ .

$\sqrt{\frac{81}{121} \cdot \frac{1681}{1681} + \frac{1600}{1681}}$

Этап 2.8

Чтобы записать $\frac{1600}{1681}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{121}{121}$ .

$\sqrt{\frac{81}{121} \cdot \frac{1681}{1681} + \frac{1600}{1681} \cdot \frac{121}{121}}$

Этап 2.9

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $203401$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Умножим $\frac{81}{121}$ на $\frac{1681}{1681}$ .

$\sqrt{\frac{81 \cdot 1681}{121 \cdot 1681} + \frac{1600}{1681} \cdot \frac{121}{121}}$

Этап 2.9.2

Умножим $121$ на $1681$ .

$\sqrt{\frac{81 \cdot 1681}{203401} + \frac{1600}{1681} \cdot \frac{121}{121}}$

Этап 2.9.3

Умножим $\frac{1600}{1681}$ на $\frac{121}{121}$ .

$\sqrt{\frac{81 \cdot 1681}{203401} + \frac{1600 \cdot 121}{1681 \cdot 121}}$

Этап 2.9.4

Умножим $1681$ на $121$ .

$\sqrt{\frac{81 \cdot 1681}{203401} + \frac{1600 \cdot 121}{203401}}$

Этап 2.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{81 \cdot 1681 + 1600 \cdot 121}{203401}}$

Этап 2.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Умножим $81$ на $1681$ .

$\sqrt{\frac{136161 + 1600 \cdot 121}{203401}}$

Этап 2.11.2

Умножим $1600$ на $121$ .

$\sqrt{\frac{136161 + 193600}{203401}}$

Этап 2.11.3

Добавим $136161$ и $193600$ .

$\sqrt{\frac{329761}{203401}}$

Этап 2.12

Перепишем $\sqrt{\frac{329761}{203401}}$ в виде $\frac{\sqrt{329761}}{\sqrt{203401}}$ .

$\frac{\sqrt{329761}}{\sqrt{203401}}$

Этап 2.13

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Перепишем $203401$ в виде $451^{2}$ .

$\frac{\sqrt{329761}}{\sqrt{451^{2}}}$

Этап 2.13.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\sqrt{329761}}{451}$

Этап 3

$\sin (θ) = \frac{Противоположные}{Гипотенуза}$ , следовательно $\sin (θ) = \frac{\frac{40}{41}}{\frac{\sqrt{329761}}{451}}$ .

$\frac{\frac{40}{41}}{\frac{\sqrt{329761}}{451}}$

Этап 4

Упростим $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sin (θ) = \frac{40}{41} \cdot \frac{451}{\sqrt{329761}}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $41$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $41$ из $451$ .

$\sin (θ) = \frac{40}{41} \cdot \frac{41 (11)}{\sqrt{329761}}$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель.

$\sin (θ) = \frac{40}{41} \cdot \frac{41 \cdot 11}{\sqrt{329761}}$

Этап 4.2.3

Перепишем это выражение.

$\sin (θ) = 40 (\frac{11}{\sqrt{329761}})$

Этап 4.3

Объединим $40$ и $\frac{11}{\sqrt{329761}}$ .

$\sin (θ) = \frac{40 \cdot 11}{\sqrt{329761}}$

Этап 4.4

Умножим $40$ на $11$ .

$\sin (θ) = \frac{440}{\sqrt{329761}}$

Этап 4.5

Умножим $\frac{440}{\sqrt{329761}}$ на $\frac{\sqrt{329761}}{\sqrt{329761}}$ .

$\sin (θ) = \frac{440}{\sqrt{329761}} \cdot \frac{\sqrt{329761}}{\sqrt{329761}}$

Этап 4.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $\frac{440}{\sqrt{329761}}$ на $\frac{\sqrt{329761}}{\sqrt{329761}}$ .

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{\sqrt{329761} \sqrt{329761}}$

Этап 4.6.2

Возведем $\sqrt{329761}$ в степень $1$ .

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{\sqrt{329761} \sqrt{329761}}$

Этап 4.6.3

Возведем $\sqrt{329761}$ в степень $1$ .

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{\sqrt{329761} \sqrt{329761}}$

Этап 4.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{{\sqrt{329761}}^{1 + 1}}$

Этап 4.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{{\sqrt{329761}}^{2}}$

Этап 4.6.6

Перепишем ${\sqrt{329761}}^{2}$ в виде $329761$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{329761}$ в виде $329761^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{{(329761^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.6.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{329761^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.6.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{329761^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.6.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{329761^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.6.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{329761}$

Этап 4.6.6.5

Найдем экспоненту.

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{329761}$

Этап 5

Аппроксимируем результат.

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{329761} \approx 0.7662192$