Тригонометрия Примеры

$(- \frac{1}{2}, \sqrt{\frac{3}{2}})$

Этап 1

Чтобы найти $\sin (θ)$ угла между осью x и прямой, соединяющей точки $(0, 0)$ и $(- \frac{1}{2}, \sqrt{\frac{3}{2}})$ , нарисуем треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$ , $(- \frac{1}{2}, 0)$ и $(- \frac{1}{2}, \sqrt{\frac{3}{2}})$ .

Противоположное: $\sqrt{\frac{3}{2}}$

Смежный: $- \frac{1}{2}$

Этап 2

Найдем гипотенузу, используя теорему Пифагора $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\sqrt{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Этап 2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\sqrt{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Этап 2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\sqrt{1 \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\sqrt{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Этап 2.3

Умножим $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\sqrt{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Этап 2.4

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(\sqrt{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Этап 2.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\sqrt{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Этап 2.6

Перепишем $\sqrt{\frac{3}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})}^{2}}$

Этап 2.7

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2}}$

Этап 2.8

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}}$

Этап 2.8.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2}}$

Этап 2.8.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2}}$

Этап 2.8.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}}$

Этап 2.8.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2}}$

Этап 2.8.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}}$

Этап 2.8.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}}$

Этап 2.8.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

Этап 2.8.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

Этап 2.8.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2}}$

Этап 2.8.6.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2})}^{2}}$

Этап 2.9.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

Этап 2.10

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 2.10.2

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 2.10.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Этап 2.10.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Этап 2.10.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Этап 2.10.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{6^{1}}{2^{2}}}$

Этап 2.10.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{6}{2^{2}}}$

Этап 2.10.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{6}{4}}$

Этап 2.10.4

Сократим общий множитель $6$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{2 (3)}{4}}$

Этап 2.10.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}}$

Этап 2.10.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}}$

Этап 2.10.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2}}$

Этап 2.11

Чтобы записать $\frac{3}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}}$

Этап 2.12

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}}$

Этап 2.12.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3 \cdot 2}{4}}$

Этап 2.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{1 + 3 \cdot 2}{4}}$

Этап 2.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\sqrt{\frac{1 + 6}{4}}$

Этап 2.14.2

Добавим $1$ и $6$ .

$\sqrt{\frac{7}{4}}$

Этап 2.15

Перепишем $\sqrt{\frac{7}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{4}}$

Этап 2.16

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 2.16.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\sqrt{7}}{2}$

Этап 3

$\sin (θ) = \frac{Противоположные}{Гипотенуза}$ , следовательно $\sin (θ) = \frac{\sqrt{\frac{3}{2}}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{3}{2}}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}$

Этап 4

Упростим $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sin (θ) = \sqrt{\frac{3}{2}} (\frac{2}{\sqrt{7}})$

Этап 4.2

Перепишем $\sqrt{\frac{3}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Этап 4.3

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Этап 4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Этап 4.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Этап 4.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Этап 4.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Этап 4.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Этап 4.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Этап 4.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Этап 4.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Этап 4.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Этап 4.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Этап 4.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Этап 4.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Сократим общий множитель.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Этап 4.5.2

Перепишем это выражение.

$\sin (θ) = \sqrt{3} \sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{7}})$

Этап 4.6

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\sin (θ) = \sqrt{3 \cdot 2} (\frac{1}{\sqrt{7}})$

Этап 4.7

Умножим $3$ на $2$ .

$\sin (θ) = \sqrt{6} (\frac{1}{\sqrt{7}})$

Этап 4.8

Объединим $\sqrt{6}$ и $\frac{1}{\sqrt{7}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$

Этап 4.9

Умножим $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$ на $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Этап 4.10

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Умножим $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$ на $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Этап 4.10.2

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Этап 4.10.3

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Этап 4.10.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Этап 4.10.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Этап 4.10.6

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.10.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.10.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.10.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.10.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7}$

Этап 4.10.6.5

Найдем экспоненту.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7}$

Этап 4.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6 \cdot 7}}{7}$

Этап 4.11.2

Умножим $6$ на $7$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{42}}{7}$

Этап 5

Аппроксимируем результат.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{42}}{7} \approx 0.92582009$