Тригонометрия Примеры

$C = 64.41$ , $B = 54.23$ , $c = 12.75 m$

Этап 1

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 2

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $b$ .

$\frac{\sin (54.23)}{b} = \frac{\sin (64.41)}{12.75 m}$

Этап 3

Решим уравнение относительно $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Найдем значение $\sin (54.23)$ .

$\frac{0.81136999}{b} = \frac{\sin (64.41)}{12.75 m}$

Этап 3.1.2

Найдем значение $\sin (64.41)$ .

$\frac{0.81136999}{b} = \frac{0.90190792}{12.75 m}$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $0.90190792$ из $0.90190792$ .

$\frac{0.81136999}{b} = \frac{0.90190792 (1)}{12.75 m}$

Этап 3.1.4

Вынесем множитель $12.75$ из $12.75 m$ .

$\frac{0.81136999}{b} = \frac{0.90190792 (1)}{12.75 (m)}$

Этап 3.1.5

Разделим дроби.

$\frac{0.81136999}{b} = \frac{0.90190792}{12.75} \cdot \frac{1}{m}$

Этап 3.1.6

Разделим $0.90190792$ на $12.75$ .

$\frac{0.81136999}{b} = 0.07073787 \frac{1}{m}$

Этап 3.1.7

Объединим $0.07073787$ и $\frac{1}{m}$ .

$\frac{0.81136999}{b} = \frac{0.07073787}{m}$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$b, m$

Этап 3.2.2

Since $b, m$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1$ then find LCM for the variable part $b^{1}, m^{1}$ .

Этап 3.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.2.5

НОК $1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 3.2.6

Множителем $b^{1}$ является само значение $b$ .

$b^{1} = b$

$b$ встречается $1$ раз.

Этап 3.2.7

Множителем $m^{1}$ является само значение $m$ .

$m^{1} = m$

$m$ встречается $1$ раз.

Этап 3.2.8

НОК $b^{1}, m^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$b \cdot m$

Этап 3.2.9

Умножим $b$ на $m$ .

$b m$

Этап 3.3

Каждый член в $\frac{0.81136999}{b} = \frac{0.07073787}{m}$ умножим на $b m$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $\frac{0.81136999}{b} = \frac{0.07073787}{m}$ на $b m$ .

$\frac{0.81136999}{b} (b m) = \frac{0.07073787}{m} (b m)$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Вынесем множитель $b$ из $b m$ .

$\frac{0.81136999}{b} (b (m)) = \frac{0.07073787}{m} (b m)$

Этап 3.3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{0.81136999}{b} (b m) = \frac{0.07073787}{m} (b m)$

Этап 3.3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$0.81136999 m = \frac{0.07073787}{m} (b m)$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Сократим общий множитель $m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Вынесем множитель $m$ из $b m$ .

$0.81136999 m = \frac{0.07073787}{m} (m b)$

Этап 3.3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$0.81136999 m = \frac{0.07073787}{m} (m b)$

Этап 3.3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$0.81136999 m = 0.07073787 b$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $0.07073787 b = 0.81136999 m$ .

$0.07073787 b = 0.81136999 m$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $0.07073787 b = 0.81136999 m$ на $0.07073787$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $0.07073787 b = 0.81136999 m$ на $0.07073787$ .

$\frac{0.07073787 b}{0.07073787} = \frac{0.81136999 m}{0.07073787}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $0.07073787$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.07073787 b}{0.07073787} = \frac{0.81136999 m}{0.07073787}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Разделим $b$ на $1$ .

$b = \frac{0.81136999 m}{0.07073787}$

Этап 3.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Вынесем множитель $0.81136999$ из $0.81136999 m$ .

$b = \frac{0.81136999 (m)}{0.07073787}$

Этап 3.4.2.3.2

Вынесем множитель $0.07073787$ из $0.07073787$ .

$b = \frac{0.81136999 (m)}{0.07073787 (1)}$

Этап 3.4.2.3.3

Разделим дроби.

$b = \frac{0.81136999}{0.07073787} \cdot \frac{m}{1}$

Этап 3.4.2.3.4

Разделим $0.81136999$ на $0.07073787$ .

$b = 11.47009255 \frac{m}{1}$

Этап 3.4.2.3.5

Разделим $m$ на $1$ .

$b = 11.47009255 m$

Этап 4

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$A + 64.41 + 54.23 = 180$

Этап 5

Решим уравнение относительно $A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $64.41$ и $54.23$ .

$A + 118.64 = 180$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $A$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $118.64$ из обеих частей уравнения.

$A = 180 - 118.64$

Этап 5.2.2

Вычтем $118.64$ из $180$ .

$A = 61.36$

Этап 6

Используем теорему косинусов, чтобы найти неизвестную сторону треугольника по двум другим сторонам и прилежащему углу.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Этап 7

Решим уравнение.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Этап 8

Подставим известные значения в уравнение.

$a = \sqrt{{(11.47009255 m)}^{2} + {(12.75 m)}^{2} - 2 (11.47009255 m) (12.75 m) \cos (61.36)}$

Этап 9

Упростим результаты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим правило умножения к $11.47009255 m$ .

$a = \sqrt{{11.47009255}^{2} m^{2} + {(12.75 m)}^{2} - 2 (11.47009255 m) (12.75 m) \cos (61.36)}$

Этап 9.2

Возведем $11.47009255$ в степень $2$ .

$a = \sqrt{131.56302318 m^{2} + {(12.75 m)}^{2} - 2 (11.47009255 m) (12.75 m) \cos (61.36)}$

Этап 9.3

Применим правило умножения к $12.75 m$ .

$a = \sqrt{131.56302318 m^{2} + {12.75}^{2} m^{2} - 2 (11.47009255 m) (12.75 m) \cos (61.36)}$

Этап 9.4

Возведем $12.75$ в степень $2$ .

$a = \sqrt{131.56302318 m^{2} + 162.5625 m^{2} - 2 (11.47009255 m) (12.75 m) \cos (61.36)}$

Этап 9.5

Умножим $m$ на $m$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Перенесем $m$ .

$a = \sqrt{131.56302318 m^{2} + 162.5625 m^{2} - 2 (11.47009255 (m \cdot m)) \cdot (12.75 \cos (61.36))}$

Этап 9.5.2

Умножим $m$ на $m$ .

$a = \sqrt{131.56302318 m^{2} + 162.5625 m^{2} - 2 (11.47009255 m^{2}) \cdot (12.75 \cos (61.36))}$

Этап 9.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Умножим $11.47009255$ на $- 2$ .

$a = \sqrt{131.56302318 m^{2} + 162.5625 m^{2} - 22.9401851 m^{2} \cdot (12.75 \cos (61.36))}$

Этап 9.6.2

Умножим $12.75$ на $- 22.9401851$ .

$a = \sqrt{131.56302318 m^{2} + 162.5625 m^{2} - 292.48736011 m^{2} \cos (61.36)}$

Этап 9.7

Умножим $\cos (61.36)$ на $- 292.48736011$ .

$a = \sqrt{131.56302318 m^{2} + 162.5625 m^{2} - 140.19056316 m^{2}}$

Этап 9.8

Добавим $131.56302318 m^{2}$ и $162.5625 m^{2}$ .

$a = \sqrt{294.12552318 m^{2} - 140.19056316 m^{2}}$

Этап 9.9

Вычтем $140.19056316 m^{2}$ из $294.12552318 m^{2}$ .

$a = \sqrt{153.93496001 m^{2}}$

Этап 9.10

Перепишем $153.93496001 m^{2}$ в виде ${(12.40705283 m)}^{2}$ .

$a = \sqrt{{(12.40705283 m)}^{2}}$

Этап 9.11

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$a = 12.40705283 m$

Этап 10

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

$A = 61.36$

$B = 54.23$

$C = 64.41$

$a = 12.40705283 m$

$b = 11.47009255 m$

$c = 12.75 m$