Тригонометрия Примеры

$C = 53$ , $B = 67$ , $a = 13$

Этап 1

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$A + 53 + 67 = 180$

Этап 2

Решим уравнение относительно $A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $53$ и $67$ .

$A + 120 = 180$

Этап 2.2

Перенесем все члены без $A$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $120$ из обеих частей уравнения.

$A = 180 - 120$

Этап 2.2.2

Вычтем $120$ из $180$ .

$A = 60$

Этап 3

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 4

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $b$ .

$\frac{\sin (67)}{b} = \frac{\sin (60)}{13}$

Этап 5

Решим уравнение относительно $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Найдем значение $\sin (67)$ .

$\frac{0.92050485}{b} = \frac{\sin (60)}{13}$

Этап 5.1.2

Точное значение $\sin (60)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.92050485}{b} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{13}$

Этап 5.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{0.92050485}{b} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{13}$

Этап 5.1.4

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{13}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\frac{1}{13}$ .

$\frac{0.92050485}{b} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 13}$

Этап 5.1.4.2

Умножим $2$ на $13$ .

$\frac{0.92050485}{b} = \frac{\sqrt{3}}{26}$

Этап 5.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$b, 26$

Этап 5.2.2

Since $b, 26$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 26$ then find LCM for the variable part $b^{1}$ .

Этап 5.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 5.2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 5.2.5

У $26$ есть множители: $2$ и $13$ .

$2 \cdot 13$

Этап 5.2.6

Умножим $2$ на $13$ .

$26$

Этап 5.2.7

Множителем $b^{1}$ является само значение $b$ .

$b^{1} = b$

$b$ встречается $1$ раз.

Этап 5.2.8

НОК $b^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$b$

Этап 5.2.9

НОК $b, 26$ представляет собой произведение числовой части $26$ и переменной части.

$26 b$

Этап 5.3

Каждый член в $\frac{0.92050485}{b} = \frac{\sqrt{3}}{26}$ умножим на $26 b$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим каждый член $\frac{0.92050485}{b} = \frac{\sqrt{3}}{26}$ на $26 b$ .

$\frac{0.92050485}{b} (26 b) = \frac{\sqrt{3}}{26} (26 b)$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$26 \frac{0.92050485}{b} b = \frac{\sqrt{3}}{26} (26 b)$

Этап 5.3.2.2

Умножим $26 \frac{0.92050485}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Объединим $26$ и $\frac{0.92050485}{b}$ .

$\frac{26 \cdot 0.92050485}{b} b = \frac{\sqrt{3}}{26} (26 b)$

Этап 5.3.2.2.2

Умножим $26$ на $0.92050485$ .

$\frac{23.93312618}{b} b = \frac{\sqrt{3}}{26} (26 b)$

Этап 5.3.2.3

Сократим общий множитель $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{23.93312618}{b} b = \frac{\sqrt{3}}{26} (26 b)$

Этап 5.3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$23.93312618 = \frac{\sqrt{3}}{26} (26 b)$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель $26$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем множитель $26$ из $26 b$ .

$23.93312618 = \frac{\sqrt{3}}{26} (26 (b))$

Этап 5.3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$23.93312618 = \frac{\sqrt{3}}{26} (26 b)$

Этап 5.3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$23.93312618 = \sqrt{3} b$

Этап 5.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{3} b = 23.93312618$ .

$\sqrt{3} b = 23.93312618$

Этап 5.4.2

Разделим каждый член $\sqrt{3} b = 23.93312618$ на $\sqrt{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Разделим каждый член $\sqrt{3} b = 23.93312618$ на $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} b}{\sqrt{3}} = \frac{23.93312618}{\sqrt{3}}$

Этап 5.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель $\sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{3} b}{\sqrt{3}} = \frac{23.93312618}{\sqrt{3}}$

Этап 5.4.2.2.1.2

Разделим $b$ на $1$ .

$b = \frac{23.93312618}{\sqrt{3}}$

Этап 5.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.1

Умножим $\frac{23.93312618}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$b = \frac{23.93312618}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 5.4.2.3.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.2.1

Умножим $\frac{23.93312618}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$b = \frac{23.93312618 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 5.4.2.3.2.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$b = \frac{23.93312618 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 5.4.2.3.2.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$b = \frac{23.93312618 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 5.4.2.3.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$b = \frac{23.93312618 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 5.4.2.3.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$b = \frac{23.93312618 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 5.4.2.3.2.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$b = \frac{23.93312618 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.4.2.3.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$b = \frac{23.93312618 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.4.2.3.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$b = \frac{23.93312618 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.4.2.3.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$b = \frac{23.93312618 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.4.2.3.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$b = \frac{23.93312618 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 5.4.2.3.2.6.5

Найдем экспоненту.

$b = \frac{23.93312618 \sqrt{3}}{3}$

Этап 5.4.2.3.3

Умножим $23.93312618$ на $\sqrt{3}$ .

$b = \frac{41.45339054}{3}$

Этап 5.4.2.3.4

Разделим $41.45339054$ на $3$ .

$b = 13.81779684$

Этап 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 7

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $c$ .

$\frac{\sin (53)}{c} = \frac{\sin (60)}{13}$

Этап 8

Решим уравнение относительно $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Найдем значение $\sin (53)$ .

$\frac{0.79863551}{c} = \frac{\sin (60)}{13}$

Этап 8.1.2

Точное значение $\sin (60)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.79863551}{c} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{13}$

Этап 8.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{0.79863551}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{13}$

Этап 8.1.4

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{13}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.4.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\frac{1}{13}$ .

$\frac{0.79863551}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 13}$

Этап 8.1.4.2

Умножим $2$ на $13$ .

$\frac{0.79863551}{c} = \frac{\sqrt{3}}{26}$

Этап 8.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$c, 26$

Этап 8.2.2

Since $c, 26$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 26$ then find LCM for the variable part $c^{1}$ .

Этап 8.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 8.2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 8.2.5

У $26$ есть множители: $2$ и $13$ .

$2 \cdot 13$

Этап 8.2.6

Умножим $2$ на $13$ .

$26$

Этап 8.2.7

Множителем $c^{1}$ является само значение $c$ .

$c^{1} = c$

$c$ встречается $1$ раз.

Этап 8.2.8

НОК $c^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$c$

Этап 8.2.9

НОК $c, 26$ представляет собой произведение числовой части $26$ и переменной части.

$26 c$

Этап 8.3

Каждый член в $\frac{0.79863551}{c} = \frac{\sqrt{3}}{26}$ умножим на $26 c$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим каждый член $\frac{0.79863551}{c} = \frac{\sqrt{3}}{26}$ на $26 c$ .

$\frac{0.79863551}{c} (26 c) = \frac{\sqrt{3}}{26} (26 c)$

Этап 8.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$26 \frac{0.79863551}{c} c = \frac{\sqrt{3}}{26} (26 c)$

Этап 8.3.2.2

Умножим $26 \frac{0.79863551}{c}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.2.1

Объединим $26$ и $\frac{0.79863551}{c}$ .

$\frac{26 \cdot 0.79863551}{c} c = \frac{\sqrt{3}}{26} (26 c)$

Этап 8.3.2.2.2

Умножим $26$ на $0.79863551$ .

$\frac{20.76452326}{c} c = \frac{\sqrt{3}}{26} (26 c)$

Этап 8.3.2.3

Сократим общий множитель $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{20.76452326}{c} c = \frac{\sqrt{3}}{26} (26 c)$

Этап 8.3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$20.76452326 = \frac{\sqrt{3}}{26} (26 c)$

Этап 8.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Сократим общий множитель $26$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1.1

Вынесем множитель $26$ из $26 c$ .

$20.76452326 = \frac{\sqrt{3}}{26} (26 (c))$

Этап 8.3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$20.76452326 = \frac{\sqrt{3}}{26} (26 c)$

Этап 8.3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$20.76452326 = \sqrt{3} c$

Этап 8.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{3} c = 20.76452326$ .

$\sqrt{3} c = 20.76452326$

Этап 8.4.2

Разделим каждый член $\sqrt{3} c = 20.76452326$ на $\sqrt{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Разделим каждый член $\sqrt{3} c = 20.76452326$ на $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} c}{\sqrt{3}} = \frac{20.76452326}{\sqrt{3}}$

Этап 8.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.2.1

Сократим общий множитель $\sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{3} c}{\sqrt{3}} = \frac{20.76452326}{\sqrt{3}}$

Этап 8.4.2.2.1.2

Разделим $c$ на $1$ .

$c = \frac{20.76452326}{\sqrt{3}}$

Этап 8.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.3.1

Умножим $\frac{20.76452326}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$c = \frac{20.76452326}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 8.4.2.3.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.3.2.1

Умножим $\frac{20.76452326}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$c = \frac{20.76452326 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 8.4.2.3.2.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$c = \frac{20.76452326 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 8.4.2.3.2.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$c = \frac{20.76452326 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 8.4.2.3.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$c = \frac{20.76452326 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 8.4.2.3.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$c = \frac{20.76452326 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 8.4.2.3.2.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.3.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$c = \frac{20.76452326 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 8.4.2.3.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$c = \frac{20.76452326 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 8.4.2.3.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$c = \frac{20.76452326 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.4.2.3.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.3.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$c = \frac{20.76452326 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.4.2.3.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$c = \frac{20.76452326 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 8.4.2.3.2.6.5

Найдем экспоненту.

$c = \frac{20.76452326 \sqrt{3}}{3}$

Этап 8.4.2.3.3

Умножим $20.76452326$ на $\sqrt{3}$ .

$c = \frac{35.96520928}{3}$

Этап 8.4.2.3.4

Разделим $35.96520928$ на $3$ .

$c = 11.98840309$

Этап 9

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

$A = 60$

$B = 67$

$C = 53$

$a = 13$

$b = 13.81779684$

$c = 11.98840309$