Тригонометрия Примеры

$B = 40$ , $b = 25$ , $c = 26$

Этап 1

Теорема синусов дает неоднозначный результат. Это указывает на существование $2$ углов, при которых уравнение имеет корректное решение. Для первого треугольника используем первое возможное значение угла.

Найдем решение для первого треугольника.

Этап 2

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 3

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $C$ .

$\frac{\sin (C)}{26} = \frac{\sin (40)}{25}$

Этап 4

Решим уравнение относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим обе части уравнения на $26$ .

$26 \frac{\sin (C)}{26} = 26 \frac{\sin (40)}{25}$

Этап 4.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель $26$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$26 \frac{\sin (C)}{26} = 26 \frac{\sin (40)}{25}$

Этап 4.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (C) = 26 \frac{\sin (40)}{25}$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим $26 \frac{\sin (40)}{25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Найдем значение $\sin (40)$ .

$\sin (C) = 26 (\frac{0.6427876}{25})$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $0.6427876$ на $25$ .

$\sin (C) = 26 \cdot 0.0257115$

Этап 4.2.2.1.3

Умножим $26$ на $0.0257115$ .

$\sin (C) = 0.66849911$

Этап 4.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $C$ из синуса.

$C = \arcsin (0.66849911)$

Этап 4.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Найдем значение $\arcsin (0.66849911)$ .

$C = 41.95133113$

Этап 4.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$C = 180 - 41.95133113$

Этап 4.6

Вычтем $41.95133113$ из $180$ .

$C = 138.04866886$

Этап 4.7

Решение уравнения $C = 41.95133113$ .

$C = 41.95133113, 138.04866886$

Этап 5

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$A + 41.95133113 + 40 = 180$

Этап 6

Решим уравнение относительно $A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Добавим $41.95133113$ и $40$ .

$A + 81.95133113 = 180$

Этап 6.2

Перенесем все члены без $A$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $81.95133113$ из обеих частей уравнения.

$A = 180 - 81.95133113$

Этап 6.2.2

Вычтем $81.95133113$ из $180$ .

$A = 98.04866886$

Этап 7

Используем теорему косинусов, чтобы найти неизвестную сторону треугольника по двум другим сторонам и прилежащему углу.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Этап 8

Решим уравнение.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Этап 9

Подставим известные значения в уравнение.

$a = \sqrt{{(25)}^{2} + {(26)}^{2} - 2 \cdot 25 \cdot 26 \cos (98.04866886)}$

Этап 10

Упростим результаты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Возведем $25$ в степень $2$ .

$a = \sqrt{625 + {(26)}^{2} - 2 \cdot 25 \cdot (26 \cos (98.04866886))}$

Этап 10.2

Возведем $26$ в степень $2$ .

$a = \sqrt{625 + 676 - 2 \cdot 25 \cdot (26 \cos (98.04866886))}$

Этап 10.3

Умножим $- 2 \cdot 25 \cdot 26$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Умножим $- 2$ на $25$ .

$a = \sqrt{625 + 676 - 50 \cdot (26 \cos (98.04866886))}$

Этап 10.3.2

Умножим $- 50$ на $26$ .

$a = \sqrt{625 + 676 - 1300 \cos (98.04866886)}$

Этап 10.4

Добавим $625$ и $676$ .

$a = \sqrt{1301 - 1300 \cos (98.04866886)}$

Этап 11

Для второго треугольника воспользуемся вторым возможным значением угла.

Найдем решение для второго треугольника.

Этап 12

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 13

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $C$ .

$\frac{\sin (C)}{26} = \frac{\sin (40)}{25}$

Этап 14

Решим уравнение относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим обе части уравнения на $26$ .

$26 \frac{\sin (C)}{26} = 26 \frac{\sin (40)}{25}$

Этап 14.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.1

Сократим общий множитель $26$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$26 \frac{\sin (C)}{26} = 26 \frac{\sin (40)}{25}$

Этап 14.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (C) = 26 \frac{\sin (40)}{25}$

Этап 14.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1

Упростим $26 \frac{\sin (40)}{25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1.1

Найдем значение $\sin (40)$ .

$\sin (C) = 26 (\frac{0.6427876}{25})$

Этап 14.2.2.1.2

Разделим $0.6427876$ на $25$ .

$\sin (C) = 26 \cdot 0.0257115$

Этап 14.2.2.1.3

Умножим $26$ на $0.0257115$ .

$\sin (C) = 0.66849911$

Этап 14.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $C$ из синуса.

$C = \arcsin (0.66849911)$

Этап 14.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Найдем значение $\arcsin (0.66849911)$ .

$C = 41.95133113$

Этап 14.5

$C = 180 - 41.95133113$

Этап 14.6

Вычтем $41.95133113$ из $180$ .

$C = 138.04866886$

Этап 14.7

Решение уравнения $C = 41.95133113$ .

$C = 41.95133113, 138.04866886$

Этап 15

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$A + 138.04866886 + 40 = 180$

Этап 16

Решим уравнение относительно $A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Добавим $138.04866886$ и $40$ .

$A + 178.04866886 = 180$

Этап 16.2

Перенесем все члены без $A$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Вычтем $178.04866886$ из обеих частей уравнения.

$A = 180 - 178.04866886$

Этап 16.2.2

Вычтем $178.04866886$ из $180$ .

$A = 1.95133113$

Этап 17

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 18

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $a$ .

$\frac{\sin (1.95133113)}{a} = \frac{\sin (40)}{25}$

Этап 19

Решим уравнение относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.1

Найдем значение $\sin (1.95133113)$ .

$\frac{0.03405056}{a} = \frac{\sin (40)}{25}$

Этап 19.1.2

Найдем значение $\sin (40)$ .

$\frac{0.03405056}{a} = \frac{0.6427876}{25}$

Этап 19.1.3

Разделим $0.6427876$ на $25$ .

$\frac{0.03405056}{a} = 0.0257115$

Этап 19.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$a, 1$

Этап 19.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$a$

Этап 19.3

Каждый член в $\frac{0.03405056}{a} = 0.0257115$ умножим на $a$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.1

Умножим каждый член $\frac{0.03405056}{a} = 0.0257115$ на $a$ .

$\frac{0.03405056}{a} a = 0.0257115 a$

Этап 19.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.2.1

Сократим общий множитель $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.03405056}{a} a = 0.0257115 a$

Этап 19.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$0.03405056 = 0.0257115 a$

Этап 19.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.4.1

Перепишем уравнение в виде $0.0257115 a = 0.03405056$ .

$0.0257115 a = 0.03405056$

Этап 19.4.2

Разделим каждый член $0.0257115 a = 0.03405056$ на $0.0257115$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.4.2.1

Разделим каждый член $0.0257115 a = 0.03405056$ на $0.0257115$ .

$\frac{0.0257115 a}{0.0257115} = \frac{0.03405056}{0.0257115}$

Этап 19.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.4.2.2.1

Сократим общий множитель $0.0257115$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.0257115 a}{0.0257115} = \frac{0.03405056}{0.0257115}$

Этап 19.4.2.2.1.2

Разделим $a$ на $1$ .

$a = \frac{0.03405056}{0.0257115}$

Этап 19.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.4.2.3.1

Разделим $0.03405056$ на $0.0257115$ .

$a = 1.32433206$

Этап 20

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

Комбинация первого треугольника:

$A = 98.04866886$

$B = 40$

$C = 41.95133113$

$a = \sqrt{1301 - 1300 \cos (98.04866886)}$

$b = 25$

$c = 26$

Комбинация второго треугольника:

$A = 1.95133113$

$B = 40$

$C = 138.04866886$

$a = 1.32433206$

$b = 25$

$c = 26$