Тригонометрия Примеры

$B = 32$ , $b = 100$ , $c = 150$

Этап 1

Теорема синусов дает неоднозначный результат. Это указывает на существование $2$ углов, при которых уравнение имеет корректное решение. Для первого треугольника используем первое возможное значение угла.

Найдем решение для первого треугольника.

Этап 2

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 3

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $C$ .

$\frac{\sin (C)}{150} = \frac{\sin (32)}{100}$

Этап 4

Решим уравнение относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим обе части уравнения на $150$ .

$150 \frac{\sin (C)}{150} = 150 \frac{\sin (32)}{100}$

Этап 4.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель $150$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$150 \frac{\sin (C)}{150} = 150 \frac{\sin (32)}{100}$

Этап 4.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (C) = 150 \frac{\sin (32)}{100}$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим $150 \frac{\sin (32)}{100}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель $50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $50$ из $150$ .

$\sin (C) = 50 (3) \frac{\sin (32)}{100}$

Этап 4.2.2.1.1.2

Вынесем множитель $50$ из $100$ .

$\sin (C) = 50 \cdot 3 \frac{\sin (32)}{50 \cdot 2}$

Этап 4.2.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$\sin (C) = 50 \cdot 3 \frac{\sin (32)}{50 \cdot 2}$

Этап 4.2.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$\sin (C) = 3 \frac{\sin (32)}{2}$

Этап 4.2.2.1.2

Объединим $3$ и $\frac{\sin (32)}{2}$ .

$\sin (C) = \frac{3 \sin (32)}{2}$

Этап 4.2.2.1.3

Найдем значение $\sin (32)$ .

$\sin (C) = \frac{3 \cdot 0.52991926}{2}$

Этап 4.2.2.1.4

Умножим $3$ на $0.52991926$ .

$\sin (C) = \frac{1.58975779}{2}$

Этап 4.2.2.1.5

Разделим $1.58975779$ на $2$ .

$\sin (C) = 0.79487889$

Этап 4.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $C$ из синуса.

$C = \arcsin (0.79487889)$

Этап 4.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Найдем значение $\arcsin (0.79487889)$ .

$C = 52.64381859$

Этап 4.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$C = 180 - 52.64381859$

Этап 4.6

Вычтем $52.64381859$ из $180$ .

$C = 127.3561814$

Этап 4.7

Решение уравнения $C = 52.64381859$ .

$C = 52.64381859, 127.3561814$

Этап 5

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$A + 52.64381859 + 32 = 180$

Этап 6

Решим уравнение относительно $A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Добавим $52.64381859$ и $32$ .

$A + 84.64381859 = 180$

Этап 6.2

Перенесем все члены без $A$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $84.64381859$ из обеих частей уравнения.

$A = 180 - 84.64381859$

Этап 6.2.2

Вычтем $84.64381859$ из $180$ .

$A = 95.3561814$

Этап 7

Используем теорему косинусов, чтобы найти неизвестную сторону треугольника по двум другим сторонам и прилежащему углу.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Этап 8

Решим уравнение.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Этап 9

Подставим известные значения в уравнение.

$a = \sqrt{{(100)}^{2} + {(150)}^{2} - 2 \cdot 100 \cdot 150 \cos (95.3561814)}$

Этап 10

Упростим результаты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Возведем $100$ в степень $2$ .

$a = \sqrt{10000 + {(150)}^{2} - 2 \cdot 100 \cdot (150 \cos (95.3561814))}$

Этап 10.2

Возведем $150$ в степень $2$ .

$a = \sqrt{10000 + 22500 - 2 \cdot 100 \cdot (150 \cos (95.3561814))}$

Этап 10.3

Умножим $- 2 \cdot 100 \cdot 150$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Умножим $- 2$ на $100$ .

$a = \sqrt{10000 + 22500 - 200 \cdot (150 \cos (95.3561814))}$

Этап 10.3.2

Умножим $- 200$ на $150$ .

$a = \sqrt{10000 + 22500 - 30000 \cos (95.3561814)}$

Этап 10.4

Добавим $10000$ и $22500$ .

$a = \sqrt{32500 - 30000 \cos (95.3561814)}$

Этап 10.5

Перепишем $32500 - 30000 \cos (95.3561814)$ в виде $50^{2} (13 - 12 \cos (95.3561814))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Вынесем множитель $2500$ из $32500$ .

$a = \sqrt{2500 (13) - 30000 \cos (95.3561814)}$

Этап 10.5.2

Вынесем множитель $2500$ из $- 30000 \cos (95.3561814)$ .

$a = \sqrt{2500 (13) + 2500 (- 12 \cos (95.3561814))}$

Этап 10.5.3

Вынесем множитель $2500$ из $2500 (13) + 2500 (- 12 \cos (95.3561814))$ .

$a = \sqrt{2500 (13 - 12 \cos (95.3561814))}$

Этап 10.5.4

Перепишем $2500$ в виде $50^{2}$ .

$a = \sqrt{50^{2} (13 - 12 \cos (95.3561814))}$

Этап 10.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$a = 50 \sqrt{13 - 12 \cos (95.3561814)}$

Этап 11

Для второго треугольника воспользуемся вторым возможным значением угла.

Найдем решение для второго треугольника.

Этап 12

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 13

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $C$ .

$\frac{\sin (C)}{150} = \frac{\sin (32)}{100}$

Этап 14

Решим уравнение относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим обе части уравнения на $150$ .

$150 \frac{\sin (C)}{150} = 150 \frac{\sin (32)}{100}$

Этап 14.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.1

Сократим общий множитель $150$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$150 \frac{\sin (C)}{150} = 150 \frac{\sin (32)}{100}$

Этап 14.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (C) = 150 \frac{\sin (32)}{100}$

Этап 14.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1

Упростим $150 \frac{\sin (32)}{100}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1.1

Сократим общий множитель $50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $50$ из $150$ .

$\sin (C) = 50 (3) \frac{\sin (32)}{100}$

Этап 14.2.2.1.1.2

Вынесем множитель $50$ из $100$ .

$\sin (C) = 50 \cdot 3 \frac{\sin (32)}{50 \cdot 2}$

Этап 14.2.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$\sin (C) = 50 \cdot 3 \frac{\sin (32)}{50 \cdot 2}$

Этап 14.2.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$\sin (C) = 3 \frac{\sin (32)}{2}$

Этап 14.2.2.1.2

Объединим $3$ и $\frac{\sin (32)}{2}$ .

$\sin (C) = \frac{3 \sin (32)}{2}$

Этап 14.2.2.1.3

Найдем значение $\sin (32)$ .

$\sin (C) = \frac{3 \cdot 0.52991926}{2}$

Этап 14.2.2.1.4

Умножим $3$ на $0.52991926$ .

$\sin (C) = \frac{1.58975779}{2}$

Этап 14.2.2.1.5

Разделим $1.58975779$ на $2$ .

$\sin (C) = 0.79487889$

Этап 14.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $C$ из синуса.

$C = \arcsin (0.79487889)$

Этап 14.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Найдем значение $\arcsin (0.79487889)$ .

$C = 52.64381859$

Этап 14.5

$C = 180 - 52.64381859$

Этап 14.6

Вычтем $52.64381859$ из $180$ .

$C = 127.3561814$

Этап 14.7

Решение уравнения $C = 52.64381859$ .

$C = 52.64381859, 127.3561814$

Этап 15

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$A + 127.3561814 + 32 = 180$

Этап 16

Решим уравнение относительно $A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Добавим $127.3561814$ и $32$ .

$A + 159.3561814 = 180$

Этап 16.2

Перенесем все члены без $A$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Вычтем $159.3561814$ из обеих частей уравнения.

$A = 180 - 159.3561814$

Этап 16.2.2

Вычтем $159.3561814$ из $180$ .

$A = 20.64381859$

Этап 17

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 18

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $a$ .

$\frac{\sin (20.64381859)}{a} = \frac{\sin (32)}{100}$

Этап 19

Решим уравнение относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.1

Найдем значение $\sin (20.64381859)$ .

$\frac{0.35255742}{a} = \frac{\sin (32)}{100}$

Этап 19.1.2

Найдем значение $\sin (32)$ .

$\frac{0.35255742}{a} = \frac{0.52991926}{100}$

Этап 19.1.3

Разделим $0.52991926$ на $100$ .

$\frac{0.35255742}{a} = 0.00529919$

Этап 19.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$a, 1$

Этап 19.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$a$

Этап 19.3

Каждый член в $\frac{0.35255742}{a} = 0.00529919$ умножим на $a$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.1

Умножим каждый член $\frac{0.35255742}{a} = 0.00529919$ на $a$ .

$\frac{0.35255742}{a} a = 0.00529919 a$

Этап 19.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.2.1

Сократим общий множитель $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.35255742}{a} a = 0.00529919 a$

Этап 19.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$0.35255742 = 0.00529919 a$

Этап 19.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.4.1

Перепишем уравнение в виде $0.00529919 a = 0.35255742$ .

$0.00529919 a = 0.35255742$

Этап 19.4.2

Разделим каждый член $0.00529919 a = 0.35255742$ на $0.00529919$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.4.2.1

Разделим каждый член $0.00529919 a = 0.35255742$ на $0.00529919$ .

$\frac{0.00529919 a}{0.00529919} = \frac{0.35255742}{0.00529919}$

Этап 19.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.4.2.2.1

Сократим общий множитель $0.00529919$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.00529919 a}{0.00529919} = \frac{0.35255742}{0.00529919}$

Этап 19.4.2.2.1.2

Разделим $a$ на $1$ .

$a = \frac{0.35255742}{0.00529919}$

Этап 19.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.4.2.3.1

Разделим $0.35255742$ на $0.00529919$ .

$a = 66.53040335$

Этап 20

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

Комбинация первого треугольника:

$A = 95.3561814$

$B = 32$

$C = 52.64381859$

$a = 50 \sqrt{13 - 12 \cos (95.3561814)}$

$b = 100$

$c = 150$

Комбинация второго треугольника:

$A = 20.64381859$

$B = 32$

$C = 127.3561814$

$a = 66.53040335$

$b = 100$

$c = 150$