Тригонометрия Примеры

$C = 145$ , $b = 7$ , $c = 33$

Этап 1

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 2

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $B$ .

$\frac{\sin (B)}{7} = \frac{\sin (145)}{33}$

Этап 3

Решим уравнение относительно $B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $7$ .

$7 \frac{\sin (B)}{7} = 7 \frac{\sin (145)}{33}$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$7 \frac{\sin (B)}{7} = 7 \frac{\sin (145)}{33}$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (B) = 7 \frac{\sin (145)}{33}$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $7 \frac{\sin (145)}{33}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Найдем значение $\sin (145)$ .

$\sin (B) = 7 (\frac{0.57357643}{33})$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $0.57357643$ на $33$ .

$\sin (B) = 7 \cdot 0.0173811$

Этап 3.2.2.1.3

Умножим $7$ на $0.0173811$ .

$\sin (B) = 0.12166772$

Этап 3.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $B$ из синуса.

$B = \arcsin (0.12166772)$

Этап 3.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Найдем значение $\arcsin (0.12166772)$ .

$B = 6.98836173$

Этап 3.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$B = 180 - 6.98836173$

Этап 3.6

Вычтем $6.98836173$ из $180$ .

$B = 173.01163826$

Этап 3.7

Решение уравнения $B = 6.98836173$ .

$B = 6.98836173, 173.01163826$

Этап 3.8

Исключим недопустимый угол.

$B = 6.98836173$

Этап 4

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$A + 145 + 6.98836173 = 180$

Этап 5

Решим уравнение относительно $A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $145$ и $6.98836173$ .

$A + 151.98836173 = 180$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $A$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $151.98836173$ из обеих частей уравнения.

$A = 180 - 151.98836173$

Этап 5.2.2

Вычтем $151.98836173$ из $180$ .

$A = 28.01163826$

Этап 6

Используем теорему косинусов, чтобы найти неизвестную сторону треугольника по двум другим сторонам и прилежащему углу.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Этап 7

Решим уравнение.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Этап 8

Подставим известные значения в уравнение.

$a = \sqrt{{(7)}^{2} + {(33)}^{2} - 2 \cdot 7 \cdot 33 \cos (28.01163826)}$

Этап 9

Упростим результаты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$a = \sqrt{49 + {(33)}^{2} - 2 \cdot 7 \cdot (33 \cos (28.01163826))}$

Этап 9.2

Возведем $33$ в степень $2$ .

$a = \sqrt{49 + 1089 - 2 \cdot 7 \cdot (33 \cos (28.01163826))}$

Этап 9.3

Умножим $- 2 \cdot 7 \cdot 33$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $- 2$ на $7$ .

$a = \sqrt{49 + 1089 - 14 \cdot (33 \cos (28.01163826))}$

Этап 9.3.2

Умножим $- 14$ на $33$ .

$a = \sqrt{49 + 1089 - 462 \cos (28.01163826)}$

Этап 9.4

Добавим $49$ и $1089$ .

$a = \sqrt{1138 - 462 \cos (28.01163826)}$

Этап 10

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

$A = 28.01163826$

$B = 6.98836173$

$C = 145$

$a = \sqrt{1138 - 462 \cos (28.01163826)}$

$b = 7$

$c = 33$