Тригонометрия Примеры

$C = 30$ , $a = 32$ , $c = 16$

Этап 1

Теорема синусов дает неоднозначный результат. Это указывает на существование $2$ углов, при которых уравнение имеет корректное решение. Для первого треугольника используем первое возможное значение угла.

Найдем решение для первого треугольника.

Этап 2

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 3

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $A$ .

$\frac{\sin (A)}{32} = \frac{\sin (30)}{16}$

Этап 4

Решим уравнение относительно $A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим обе части уравнения на $32$ .

$32 \frac{\sin (A)}{32} = 32 \frac{\sin (30)}{16}$

Этап 4.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель $32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$32 \frac{\sin (A)}{32} = 32 \frac{\sin (30)}{16}$

Этап 4.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (A) = 32 \frac{\sin (30)}{16}$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим $32 \frac{\sin (30)}{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$\sin (A) = 16 (2) \frac{\sin (30)}{16}$

Этап 4.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\sin (A) = 16 \cdot 2 \frac{\sin (30)}{16}$

Этап 4.2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$\sin (A) = 2 \sin (30)$

Этап 4.2.2.1.2

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\sin (A) = 2 (\frac{1}{2})$

Этап 4.2.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\sin (A) = 2 (\frac{1}{2})$

Этап 4.2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\sin (A) = 1$

Этап 4.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $A$ из синуса.

$A = \arcsin (1)$

Этап 4.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Точное значение $\arcsin (1)$ : $90$ .

$A = 90$

Этап 4.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$A = 180 - 90$

Этап 4.6

Вычтем $90$ из $180$ .

$A = 90$

Этап 4.7

Решение уравнения $A = 90$ .

$A = 90, 90$

Этап 5

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$90 + 30 + B = 180$

Этап 6

Решим уравнение относительно $B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Добавим $90$ и $30$ .

$120 + B = 180$

Этап 6.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $120$ из обеих частей уравнения.

$B = 180 - 120$

Этап 6.2.2

Вычтем $120$ из $180$ .

$B = 60$

Этап 7

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 8

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $b$ .

$\frac{\sin (60)}{b} = \frac{\sin (90)}{32}$

Этап 9

Решим уравнение относительно $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Точное значение $\sin (60)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{b} = \frac{\sin (90)}{32}$

Этап 9.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{b} = \frac{\sin (90)}{32}$

Этап 9.1.3

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\frac{1}{b}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{\sin (90)}{32}$

Этап 9.1.4

Точное значение $\sin (90)$ : $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{32}$

Этап 9.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 b, 32$

Этап 9.2.2

Since $2 b, 32$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $2, 32$ then find LCM for the variable part $b^{1}$ .

Этап 9.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 9.2.4

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 9.2.5

Простыми множителями $32$ являются $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.5.1

У $32$ есть множители: $2$ и $16$ .

$2 \cdot 16$

Этап 9.2.5.2

У $16$ есть множители: $2$ и $8$ .

$2 \cdot 2 \cdot 8$

Этап 9.2.5.3

У $8$ есть множители: $2$ и $4$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4$

Этап 9.2.5.4

У $4$ есть множители: $2$ и $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Этап 9.2.6

Умножим $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Этап 9.2.6.2

Умножим $4$ на $2$ .

$8 \cdot 2 \cdot 2$

Этап 9.2.6.3

Умножим $8$ на $2$ .

$16 \cdot 2$

Этап 9.2.6.4

Умножим $16$ на $2$ .

$32$

Этап 9.2.7

Множителем $b^{1}$ является само значение $b$ .

$b^{1} = b$

$b$ встречается $1$ раз.

Этап 9.2.8

НОК $b^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$b$

Этап 9.2.9

НОК $2 b, 32$ представляет собой произведение числовой части $32$ и переменной части.

$32 b$

Этап 9.3

Каждый член в $\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{32}$ умножим на $32 b$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим каждый член $\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{32}$ на $32 b$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} (32 b) = \frac{1}{32} (32 b)$

Этап 9.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$32 \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

Этап 9.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $32$ .

$2 (16) \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

Этап 9.3.2.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2 b$ .

$2 (16) \frac{\sqrt{3}}{2 (b)} b = \frac{1}{32} (32 b)$

Этап 9.3.2.2.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 16 \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

Этап 9.3.2.2.4

Перепишем это выражение.

$16 \frac{\sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

Этап 9.3.2.3

Объединим $16$ и $\frac{\sqrt{3}}{b}$ .

$\frac{16 \sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

Этап 9.3.2.4

Сократим общий множитель $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{16 \sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

Этап 9.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$16 \sqrt{3} = \frac{1}{32} (32 b)$

Этап 9.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Сократим общий множитель $32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1.1

Вынесем множитель $32$ из $32 b$ .

$16 \sqrt{3} = \frac{1}{32} (32 (b))$

Этап 9.3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$16 \sqrt{3} = \frac{1}{32} (32 b)$

Этап 9.3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$16 \sqrt{3} = b$

Этап 9.4

Перепишем уравнение в виде $b = 16 \sqrt{3}$ .

$b = 16 \sqrt{3}$

Этап 10

Для второго треугольника воспользуемся вторым возможным значением угла.

Найдем решение для второго треугольника.

Этап 11

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 12

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $A$ .

$\frac{\sin (A)}{32} = \frac{\sin (30)}{16}$

Этап 13

Решим уравнение относительно $A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим обе части уравнения на $32$ .

$32 \frac{\sin (A)}{32} = 32 \frac{\sin (30)}{16}$

Этап 13.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Сократим общий множитель $32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$32 \frac{\sin (A)}{32} = 32 \frac{\sin (30)}{16}$

Этап 13.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (A) = 32 \frac{\sin (30)}{16}$

Этап 13.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1

Упростим $32 \frac{\sin (30)}{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1.1

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$\sin (A) = 16 (2) \frac{\sin (30)}{16}$

Этап 13.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\sin (A) = 16 \cdot 2 \frac{\sin (30)}{16}$

Этап 13.2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$\sin (A) = 2 \sin (30)$

Этап 13.2.2.1.2

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\sin (A) = 2 (\frac{1}{2})$

Этап 13.2.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\sin (A) = 2 (\frac{1}{2})$

Этап 13.2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\sin (A) = 1$

Этап 13.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $A$ из синуса.

$A = \arcsin (1)$

Этап 13.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Точное значение $\arcsin (1)$ : $90$ .

$A = 90$

Этап 13.5

$A = 180 - 90$

Этап 13.6

Вычтем $90$ из $180$ .

$A = 90$

Этап 13.7

Решение уравнения $A = 90$ .

$A = 90, 90$

Этап 14

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$90 + 30 + B = 180$

Этап 15

Решим уравнение относительно $B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Добавим $90$ и $30$ .

$120 + B = 180$

Этап 15.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Вычтем $120$ из обеих частей уравнения.

$B = 180 - 120$

Этап 15.2.2

Вычтем $120$ из $180$ .

$B = 60$

Этап 16

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 17

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $b$ .

$\frac{\sin (60)}{b} = \frac{\sin (90)}{32}$

Этап 18

Решим уравнение относительно $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.1

Точное значение $\sin (60)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{b} = \frac{\sin (90)}{32}$

Этап 18.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{b} = \frac{\sin (90)}{32}$

Этап 18.1.3

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\frac{1}{b}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{\sin (90)}{32}$

Этап 18.1.4

Точное значение $\sin (90)$ : $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{32}$

Этап 18.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 b, 32$

Этап 18.2.2

Since $2 b, 32$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $2, 32$ then find LCM for the variable part $b^{1}$ .

Этап 18.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 18.2.4

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 18.2.5

Простыми множителями $32$ являются $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.5.1

У $32$ есть множители: $2$ и $16$ .

$2 \cdot 16$

Этап 18.2.5.2

У $16$ есть множители: $2$ и $8$ .

$2 \cdot 2 \cdot 8$

Этап 18.2.5.3

У $8$ есть множители: $2$ и $4$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4$

Этап 18.2.5.4

У $4$ есть множители: $2$ и $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Этап 18.2.6

Умножим $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Этап 18.2.6.2

Умножим $4$ на $2$ .

$8 \cdot 2 \cdot 2$

Этап 18.2.6.3

Умножим $8$ на $2$ .

$16 \cdot 2$

Этап 18.2.6.4

Умножим $16$ на $2$ .

$32$

Этап 18.2.7

Множителем $b^{1}$ является само значение $b$ .

$b^{1} = b$

$b$ встречается $1$ раз.

Этап 18.2.8

$b$

Этап 18.2.9

НОК $2 b, 32$ представляет собой произведение числовой части $32$ и переменной части.

$32 b$

Этап 18.3

Каждый член в $\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{32}$ умножим на $32 b$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.1

Умножим каждый член $\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{32}$ на $32 b$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} (32 b) = \frac{1}{32} (32 b)$

Этап 18.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$32 \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

Этап 18.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $32$ .

$2 (16) \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

Этап 18.3.2.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2 b$ .

$2 (16) \frac{\sqrt{3}}{2 (b)} b = \frac{1}{32} (32 b)$

Этап 18.3.2.2.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 16 \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

Этап 18.3.2.2.4

Перепишем это выражение.

$16 \frac{\sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

Этап 18.3.2.3

Объединим $16$ и $\frac{\sqrt{3}}{b}$ .

$\frac{16 \sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

Этап 18.3.2.4

Сократим общий множитель $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{16 \sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

Этап 18.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$16 \sqrt{3} = \frac{1}{32} (32 b)$

Этап 18.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.3.1

Сократим общий множитель $32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.3.1.1

Вынесем множитель $32$ из $32 b$ .

$16 \sqrt{3} = \frac{1}{32} (32 (b))$

Этап 18.3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$16 \sqrt{3} = \frac{1}{32} (32 b)$

Этап 18.3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$16 \sqrt{3} = b$

Этап 18.4

Перепишем уравнение в виде $b = 16 \sqrt{3}$ .

$b = 16 \sqrt{3}$

Этап 19

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

Комбинация первого треугольника:

$A = 90$

$B = 60$

$C = 30$

$a = 32$

$b = 16 \sqrt{3}$

$c = 16$

Комбинация второго треугольника:

$A = 90$

$B = 60$

$C = 30$

$a = 32$

$b = 16 \sqrt{3}$

$c = 16$