Тригонометрия Примеры

$c = 26$ , $b = 53$ , $B = 105$

Этап 1

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 2

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $C$ .

$\frac{\sin (C)}{26} = \frac{\sin (105)}{53}$

Этап 3

Решим уравнение относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $26$ .

$26 \frac{\sin (C)}{26} = 26 \frac{\sin (105)}{53}$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $26$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$26 \frac{\sin (C)}{26} = 26 \frac{\sin (105)}{53}$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (C) = 26 \frac{\sin (105)}{53}$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $26 \frac{\sin (105)}{53}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Точное значение $\sin (105)$ : $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\sin (C) = 26 \frac{\sin (75)}{53}$

Этап 3.2.2.1.1.2

Разделим $75$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\sin (C) = 26 \frac{\sin (30 + 45)}{53}$

Этап 3.2.2.1.1.3

Применим формулу для суммы углов.

$\sin (C) = 26 \frac{\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{53}$

Этап 3.2.2.1.1.4

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{53}$

Этап 3.2.2.1.1.5

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)}{53}$

Этап 3.2.2.1.1.6

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)}{53}$

Этап 3.2.2.1.1.7

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{53}$

Этап 3.2.2.1.1.8

Упростим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.8.1.1

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.8.1.1.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{53}$

Этап 3.2.2.1.1.8.1.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{53}$

Этап 3.2.2.1.1.8.1.2

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.8.1.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{53}$

Этап 3.2.2.1.1.8.1.2.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}{53}$

Этап 3.2.2.1.1.8.1.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}{53}$

Этап 3.2.2.1.1.8.1.2.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}{53}$

Этап 3.2.2.1.1.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}{53}$

Этап 3.2.2.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sin (C) = 26 (\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{53})$

Этап 3.2.2.1.3

Умножим $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{53}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ на $\frac{1}{53}$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 \cdot 53}$

Этап 3.2.2.1.3.2

Умножим $4$ на $53$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{212}$

Этап 3.2.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $26$ .

$\sin (C) = 2 (13) \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{212}$

Этап 3.2.2.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $212$ .

$\sin (C) = 2 \cdot 13 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2 \cdot 106}$

Этап 3.2.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$\sin (C) = 2 \cdot 13 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2 \cdot 106}$

Этап 3.2.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$\sin (C) = 13 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{106}$

Этап 3.2.2.1.5

Объединим $13$ и $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{106}$ .

$\sin (C) = \frac{13 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{106}$

Этап 3.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $C$ из синуса.

$C = \arcsin (\frac{13 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{106})$

Этап 3.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{13 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{106})$ .

$C = 28.28452639$

Этап 3.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$C = 180 - 28.28452639$

Этап 3.6

Вычтем $28.28452639$ из $180$ .

$C = 151.7154736$

Этап 3.7

Решение уравнения $C = 28.28452639$ .

$C = 28.28452639, 151.7154736$

Этап 3.8

Исключим недопустимый угол.

$C = 28.28452639$

Этап 4

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$A + 28.28452639 + 105 = 180$

Этап 5

Решим уравнение относительно $A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $28.28452639$ и $105$ .

$A + 133.28452639 = 180$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $A$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $133.28452639$ из обеих частей уравнения.

$A = 180 - 133.28452639$

Этап 5.2.2

Вычтем $133.28452639$ из $180$ .

$A = 46.7154736$

Этап 6

Используем теорему косинусов, чтобы найти неизвестную сторону треугольника по двум другим сторонам и прилежащему углу.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Этап 7

Решим уравнение.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Этап 8

Подставим известные значения в уравнение.

$a = \sqrt{{(53)}^{2} + {(26)}^{2} - 2 \cdot 53 \cdot 26 \cos (46.7154736)}$

Этап 9

Упростим результаты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Возведем $53$ в степень $2$ .

$a = \sqrt{2809 + {(26)}^{2} - 2 \cdot 53 \cdot (26 \cos (46.7154736))}$

Этап 9.2

Возведем $26$ в степень $2$ .

$a = \sqrt{2809 + 676 - 2 \cdot 53 \cdot (26 \cos (46.7154736))}$

Этап 9.3

Умножим $- 2 \cdot 53 \cdot 26$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $- 2$ на $53$ .

$a = \sqrt{2809 + 676 - 106 \cdot (26 \cos (46.7154736))}$

Этап 9.3.2

Умножим $- 106$ на $26$ .

$a = \sqrt{2809 + 676 - 2756 \cos (46.7154736)}$

Этап 9.4

Добавим $2809$ и $676$ .

$a = \sqrt{3485 - 2756 \cos (46.7154736)}$

Этап 10

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

$A = 46.7154736$

$B = 105$

$C = 28.28452639$

$a = \sqrt{3485 - 2756 \cos (46.7154736)}$

$b = 53$

$c = 26$