Тригонометрия Примеры

$\frac{\sqrt{5} + i \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 i \sqrt{5}}$

Этап 1

Умножим $\frac{\sqrt{5} + i \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 i \sqrt{5}}$ на $\frac{5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5}}{5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{5} + i \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 i \sqrt{5}} \cdot \frac{5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5}}{5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5}}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{\sqrt{5} + i \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 i \sqrt{5}}$ на $\frac{5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5}}{5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5}}$ .

$\frac{(\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5})}{(5 \sqrt{15} + 5 i \sqrt{5}) (5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5})}$

Этап 2.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5})}{25 {\sqrt{15}}^{2} - 25 \sqrt{75} i + 25 i \sqrt{75} - 25 i^{2} {\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

$\frac{(\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5})}{500}$

Этап 2.4

Сократим общий множитель $5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5}$ и $500$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вынесем множитель $5$ из $(\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5})$ .

$\frac{5 ((\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (\sqrt{15} - i \sqrt{5}))}{500}$

Этап 2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вынесем множитель $5$ из $500$ .

$\frac{5 ((\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (\sqrt{15} - i \sqrt{5}))}{5 (100)}$

Этап 2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 ((\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (\sqrt{15} - i \sqrt{5}))}{5 \cdot 100}$

Этап 2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (\sqrt{15} - i \sqrt{5})}{100}$

Этап 3

Развернем $(\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (\sqrt{15} - i \sqrt{5})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{5} (\sqrt{15} - i \sqrt{5}) + i \sqrt{15} (\sqrt{15} - i \sqrt{5})}{100}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{15} + \sqrt{5} (- i \sqrt{5}) + i \sqrt{15} (\sqrt{15} - i \sqrt{5})}{100}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{15} + \sqrt{5} (- i \sqrt{5}) + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Этап 4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{5 \cdot 15} + \sqrt{5} (- i \sqrt{5}) + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Этап 4.1.2

Умножим $5$ на $15$ .

$\frac{\sqrt{75} + \sqrt{5} (- i \sqrt{5}) + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Этап 4.1.3

Перепишем $75$ в виде $5^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Вынесем множитель $25$ из $75$ .

$\frac{\sqrt{25 (3)} + \sqrt{5} (- i \sqrt{5}) + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Этап 4.1.3.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 3} + \sqrt{5} (- i \sqrt{5}) + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Этап 4.1.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{5 \sqrt{3} + \sqrt{5} (- i \sqrt{5}) + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Этап 4.1.5

Умножим $\sqrt{5} (- i \sqrt{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - i ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}) + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Этап 4.1.5.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - i ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}) + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Этап 4.1.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{5 \sqrt{3} - i {\sqrt{5}}^{1 + 1} + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Этап 4.1.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - i {\sqrt{5}}^{2} + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Этап 4.1.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - i {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Этап 4.1.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - i \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Этап 4.1.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - i \cdot 5^{\frac{2}{2}} + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Этап 4.1.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \sqrt{3} - i \cdot 5^{\frac{2}{2}} + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Этап 4.1.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{5 \sqrt{3} - i \cdot 5^{1} + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Этап 4.1.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{5 \sqrt{3} - i \cdot 5 + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Этап 4.1.7

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Этап 4.1.8

Умножим $i \sqrt{15} \sqrt{15}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1

Возведем $\sqrt{15}$ в степень $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i ({\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15}) + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Этап 4.1.8.2

Возведем $\sqrt{15}$ в степень $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i ({\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1}) + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Этап 4.1.8.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i {\sqrt{15}}^{1 + 1} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Этап 4.1.8.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i {\sqrt{15}}^{2} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Этап 4.1.9

Перепишем ${\sqrt{15}}^{2}$ в виде $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.9.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{15}$ в виде $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i {(15^{\frac{1}{2}})}^{2} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Этап 4.1.9.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Этап 4.1.9.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i \cdot 15^{\frac{2}{2}} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Этап 4.1.9.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.9.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i \cdot 15^{\frac{2}{2}} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Этап 4.1.9.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i \cdot 15^{1} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Этап 4.1.9.5

Найдем экспоненту.

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i \cdot 15 + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Этап 4.1.10

Перенесем $15$ влево от $i$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 \cdot i + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Этап 4.1.11

Умножим $i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.11.1

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + \sqrt{15} (- (i^{1} i) \sqrt{5})}{100}$

Этап 4.1.11.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + \sqrt{15} (- (i^{1} i^{1}) \sqrt{5})}{100}$

Этап 4.1.11.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + \sqrt{15} (- i^{1 + 1} \sqrt{5})}{100}$

Этап 4.1.11.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + \sqrt{15} (- i^{2} \sqrt{5})}{100}$

Этап 4.1.11.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i - i^{2} \sqrt{15 \cdot 5}}{100}$

Этап 4.1.11.6

Умножим $15$ на $5$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i - i^{2} \sqrt{75}}{100}$

Этап 4.1.12

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i - - 1 \sqrt{75}}{100}$

Этап 4.1.13

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + 1 \sqrt{75}}{100}$

Этап 4.1.14

Умножим $\sqrt{75}$ на $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + \sqrt{75}}{100}$

Этап 4.1.15

Перепишем $75$ в виде $5^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.15.1

Вынесем множитель $25$ из $75$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + \sqrt{25 (3)}}{100}$

Этап 4.1.15.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{100}$

Этап 4.1.16

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + 5 \sqrt{3}}{100}$

Этап 4.2

Добавим $5 \sqrt{3}$ и $5 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 5 i + 15 i + 10 \sqrt{3}}{100}$

Этап 4.3

Добавим $- 5 i$ и $15 i$ .

$\frac{10 i + 10 \sqrt{3}}{100}$

Этап 5

Изменим порядок $10 i$ и $10 \sqrt{3}$ .

$\frac{10 \sqrt{3} + 10 i}{100}$

Этап 6

Сократим общий множитель $10 \sqrt{3} + 10 i$ и $100$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $10$ из $10 \sqrt{3}$ .

$\frac{10 (\sqrt{3}) + 10 i}{100}$

Этап 6.2

Вынесем множитель $10$ из $10 i$ .

$\frac{10 (\sqrt{3}) + 10 (i)}{100}$

Этап 6.3

Вынесем множитель $10$ из $10 (\sqrt{3}) + 10 (i)$ .

$\frac{10 (\sqrt{3} + i)}{100}$

Этап 6.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $10$ из $100$ .

$\frac{10 (\sqrt{3} + i)}{10 (10)}$

Этап 6.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{10 (\sqrt{3} + i)}{10 \cdot 10}$

Этап 6.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{3} + i}{10}$