Тригонометрия Примеры

$\frac{{(3 + 3 i)}^{5} {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 1

Воспользуемся бином Ньютона.

$\frac{(3^{5} + 5 \cdot 3^{4} (3 i) + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возведем $3$ в степень $5$ .

$\frac{(243 + 5 \cdot 3^{4} (3 i) + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 2.1.2

Умножим $3^{4}$ на $3$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перенесем $3$ .

$\frac{(243 + 5 \cdot (3 \cdot 3^{4}) i + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 2.1.2.2

Умножим $3$ на $3^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$\frac{(243 + 5 \cdot (3^{1} \cdot 3^{4}) i + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 2.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(243 + 5 \cdot 3^{1 + 4} i + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 2.1.2.3

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{(243 + 5 \cdot 3^{5} i + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 2.1.3

Возведем $3$ в степень $5$ .

$\frac{(243 + 5 \cdot 243 i + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 2.1.4

Умножим $5$ на $243$ .

$\frac{(243 + 1215 i + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 2.1.5

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{(243 + 1215 i + 10 \cdot 27 {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 2.1.6

Умножим $10$ на $27$ .

$\frac{(243 + 1215 i + 270 {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 2.1.7

Применим правило умножения к $3 i$ .

$\frac{(243 + 1215 i + 270 (3^{2} i^{2}) + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 2.1.8

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{(243 + 1215 i + 270 (9 i^{2}) + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 2.1.9

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{(243 + 1215 i + 270 (9 \cdot - 1) + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 2.1.10

Умножим $270 (9 \cdot - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1

Умножим $9$ на $- 1$ .

$\frac{(243 + 1215 i + 270 \cdot - 9 + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 2.1.10.2

Умножим $270$ на $- 9$ .

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 2.1.11

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 + 10 \cdot 9 {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 2.1.12

Умножим $10$ на $9$ .

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 + 90 {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 2.1.13

Применим правило умножения к $3 i$ .

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 + 90 (3^{3} i^{3}) + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 2.1.14

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 + 90 (27 i^{3}) + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 2.1.15

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 + 90 (27 (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 2.1.16

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 + 90 (27 (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 2.1.17

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 + 90 (27 (- i)) + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 2.1.18

Умножим $- 1$ на $27$ .

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 + 90 (- 27 i) + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 2.1.19

Умножим $- 27$ на $90$ .

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 2.1.20

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 15 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 2.1.21

Применим правило умножения к $3 i$ .

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 15 (3^{4} i^{4}) + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 2.1.22

Возведем $3$ в степень $4$ .

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 15 (81 i^{4}) + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 2.1.23

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.23.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 15 (81 {(i^{2})}^{2}) + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 2.1.23.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 15 (81 {(- 1)}^{2}) + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 2.1.23.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 15 (81 \cdot 1) + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 2.1.24

Умножим $15 (81 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.24.1

Умножим $81$ на $1$ .

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 15 \cdot 81 + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 2.1.24.2

Умножим $15$ на $81$ .

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 2.1.25

Применим правило умножения к $3 i$ .

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + 3^{5} i^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 2.1.26

Возведем $3$ в степень $5$ .

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + 243 i^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 2.1.27

Вынесем $i^{4}$ за скобки.

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + 243 (i^{4} i)) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 2.1.28

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.28.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + 243 ({(i^{2})}^{2} i)) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 2.1.28.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + 243 ({(- 1)}^{2} i)) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 2.1.28.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + 243 (1 i)) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 2.1.29

Умножим $i$ на $1$ .

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + 243 i) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $2430$ из $243$ .

$\frac{(- 2187 + 1215 i - 2430 i + 1215 + 243 i) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 2.2.2

Добавим $- 2187$ и $1215$ .

$\frac{(- 972 + 1215 i - 2430 i + 243 i) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 2.2.3

Вычтем $2430 i$ из $1215 i$ .

$\frac{(- 972 - 1215 i + 243 i) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 2.2.4

Добавим $- 1215 i$ и $243 i$ .

$\frac{(- 972 - 972 i) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 3

Воспользуемся бином Ньютона.

$\frac{(- 972 - 972 i) ({(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} (2 i) + 3 \cdot - 2 {(2 i)}^{2} + {(2 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 3 {(- 2)}^{2} (2 i) + 3 \cdot - 2 {(2 i)}^{2} + {(2 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 4.1.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 3 \cdot 4 (2 i) + 3 \cdot - 2 {(2 i)}^{2} + {(2 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 4.1.3

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 12 (2 i) + 3 \cdot - 2 {(2 i)}^{2} + {(2 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 4.1.4

Умножим $2$ на $12$ .

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 24 i + 3 \cdot - 2 {(2 i)}^{2} + {(2 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 4.1.5

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 24 i - 6 {(2 i)}^{2} + {(2 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 4.1.6

Применим правило умножения к $2 i$ .

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 24 i - 6 (2^{2} i^{2}) + {(2 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 4.1.7

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 24 i - 6 (4 i^{2}) + {(2 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 4.1.8

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 24 i - 6 (4 \cdot - 1) + {(2 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 4.1.9

Умножим $- 6 (4 \cdot - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.9.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 24 i - 6 \cdot - 4 + {(2 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 4.1.9.2

Умножим $- 6$ на $- 4$ .

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 24 i + 24 + {(2 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 4.1.10

Применим правило умножения к $2 i$ .

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 24 i + 24 + 2^{3} i^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 4.1.11

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 24 i + 24 + 8 i^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 4.1.12

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 24 i + 24 + 8 (i^{2} \cdot i))}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 4.1.13

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 24 i + 24 + 8 (- 1 \cdot i))}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 4.1.14

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 24 i + 24 + 8 (- i))}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 4.1.15

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 24 i + 24 - 8 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 4.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $- 8$ и $24$ .

$\frac{(- 972 - 972 i) (16 + 24 i - 8 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 4.2.2

Вычтем $8 i$ из $24 i$ .

$\frac{(- 972 - 972 i) (16 + 16 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 5

Развернем $(- 972 - 972 i) (16 + 16 i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 972 (16 + 16 i) - 972 i (16 + 16 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 972 \cdot 16 - 972 (16 i) - 972 i (16 + 16 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 972 \cdot 16 - 972 (16 i) - 972 i \cdot 16 - 972 i (16 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $- 972$ на $16$ .

$\frac{- 15552 - 972 (16 i) - 972 i \cdot 16 - 972 i (16 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 6.1.2

Умножим $16$ на $- 972$ .

$\frac{- 15552 - 15552 i - 972 i \cdot 16 - 972 i (16 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 6.1.3

Умножим $16$ на $- 972$ .

$\frac{- 15552 - 15552 i - 15552 i - 972 i (16 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 6.1.4

Умножим $- 972 i (16 i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Умножим $16$ на $- 972$ .

$\frac{- 15552 - 15552 i - 15552 i - 15552 i i}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 6.1.4.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{- 15552 - 15552 i - 15552 i - 15552 (i^{1} i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 6.1.4.3

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{- 15552 - 15552 i - 15552 i - 15552 (i^{1} i^{1})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 6.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 15552 - 15552 i - 15552 i - 15552 i^{1 + 1}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 6.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 15552 - 15552 i - 15552 i - 15552 i^{2}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 6.1.5

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{- 15552 - 15552 i - 15552 i - 15552 \cdot - 1}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 6.1.6

Умножим $- 15552$ на $- 1$ .

$\frac{- 15552 - 15552 i - 15552 i + 15552}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 6.2

Добавим $- 15552$ и $15552$ .

$\frac{0 - 15552 i - 15552 i}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 6.3

Вычтем $15552 i$ из $0$ .

$\frac{- 15552 i - 15552 i}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 6.4

Вычтем $15552 i$ из $- 15552 i$ .

$\frac{- 31104 i}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Этап 7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{31104 i}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$