Тригонометрия Примеры

$f (x) = 2 \sin (x) + \cos (2 x)$ , $f (x) = 2$

Этап 1

Подставим $2$ вместо $f (x)$ .

$2 = 2 \sin (x) + \cos (2 x)$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $2 \sin (x) + \cos (2 x) = 2$ .

$2 \sin (x) + \cos (2 x) = 2$

Этап 2.2

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) = 2$

Этап 2.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) = 2 - 1$

Этап 2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вычтем $1$ из $2$ .

$2 \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) = 1$

Этап 2.5

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Подставим $u$ вместо $\sin (x)$ .

$2 (u) - 2 {(u)}^{2} = 1$

Этап 2.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 u - 2 u^{2} - 1 = 0$

Этап 2.5.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.5.4

Подставим значения $a = - 2$ , $b = 2$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.5.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2 \cdot - 1}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.5.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 2 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8 \cdot - 1}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.5.5.1.2.2

Умножим $8$ на $- 1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.5.5.1.3

Вычтем $8$ из $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.5.5.1.4

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.5.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.5.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.5.5.1.7

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.5.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.5.5.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.5.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 i}{- 4}$

Этап 2.5.5.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 i}{- 4}$ .

$u = \frac{1 \pm i}{2}$

Этап 2.5.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2 \cdot - 1}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.5.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 2 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8 \cdot - 1}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.5.6.1.2.2

Умножим $8$ на $- 1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.5.6.1.3

Вычтем $8$ из $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.5.6.1.4

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.5.6.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.5.6.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.5.6.1.7

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.5.6.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.5.6.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.5.6.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 i}{- 4}$

Этап 2.5.6.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 i}{- 4}$ .

$u = \frac{1 \pm i}{2}$

Этап 2.5.6.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$u = \frac{1 + i}{2}$

Этап 2.5.6.5

Разобьем дробь $\frac{1 + i}{2}$ на две дроби.

$u = \frac{1}{2} + \frac{i}{2}$

Этап 2.5.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.7.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2 \cdot - 1}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.5.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 2 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8 \cdot - 1}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.5.7.1.2.2

Умножим $8$ на $- 1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.5.7.1.3

Вычтем $8$ из $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.5.7.1.4

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.5.7.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.5.7.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.5.7.1.7

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.5.7.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.5.7.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.5.7.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 i}{- 4}$

Этап 2.5.7.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 i}{- 4}$ .

$u = \frac{1 \pm i}{2}$

Этап 2.5.7.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$u = \frac{1 - i}{2}$

Этап 2.5.7.5

Разобьем дробь $\frac{1 - i}{2}$ на две дроби.

$u = \frac{1}{2} + \frac{- i}{2}$

Этап 2.5.7.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

Этап 2.5.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = \frac{1}{2} + \frac{i}{2}, \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

Этап 2.5.9

Подставим $\sin (x)$ вместо $u$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2} + \frac{i}{2}, \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

Этап 2.5.10

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2} + \frac{i}{2}$

$\sin (x) = \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

Этап 2.5.11

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = \frac{1}{2} + \frac{i}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.11.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{1}{2} + \frac{i}{2})$

Этап 2.5.11.2

Обратная функция синуса от $\arcsin (\frac{1}{2} + \frac{i}{2})$ не определена.

Неопределенные

Этап 2.5.12

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.12.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{1}{2} - \frac{i}{2})$

Этап 2.5.12.2

Обратная функция синуса от $\arcsin (\frac{1}{2} - \frac{i}{2})$ не определена.

Неопределенные

Этап 2.5.13

Перечислим все решения.

Нет решения