Тригонометрия Примеры

$f (x) = 2 \sin (x) + \cos (2 x)$ , $f (x) = \frac{π}{6}$

Этап 1

Подставим $\frac{π}{6}$ вместо $f (x)$ .

$\frac{π}{6} = 2 \sin (x) + \cos (2 x)$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $2 \sin (x) + \cos (2 x) = \frac{π}{6}$ .

$2 \sin (x) + \cos (2 x) = \frac{π}{6}$

Этап 2.2

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) = \frac{π}{6}$

Этап 2.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) = \frac{π}{6} - 1$

Этап 2.4

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Подставим $u$ вместо $\sin (x)$ .

$2 (u) - 2 {(u)}^{2} = \frac{π}{6} - 1$

Этап 2.4.2

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вычтем $\frac{π}{6}$ из обеих частей уравнения.

$2 u - 2 u^{2} - \frac{π}{6} = - 1$

Этап 2.4.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 u - 2 u^{2} - \frac{π}{6} + 1 = 0$

Этап 2.4.3

Умножим на наименьшее общее кратное знаменателей $6$ , затем упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (2 u) + 6 (- 2 u^{2}) + 6 (- \frac{π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

Этап 2.4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.1

Умножим $2$ на $6$ .

$12 u + 6 (- 2 u^{2}) + 6 (- \frac{π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

Этап 2.4.3.2.2

Умножим $- 2$ на $6$ .

$12 u - 12 u^{2} + 6 (- \frac{π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

Этап 2.4.3.2.3

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{6}$ в числитель.

$12 u - 12 u^{2} + 6 (\frac{- π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

Этап 2.4.3.2.3.2

Сократим общий множитель.

$12 u - 12 u^{2} + 6 (\frac{- π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

Этап 2.4.3.2.3.3

Перепишем это выражение.

$12 u - 12 u^{2} - π + 6 \cdot 1 = 0$

Этап 2.4.3.2.4

Умножим $6$ на $1$ .

$12 u - 12 u^{2} - π + 6 = 0$

Этап 2.4.3.3

Изменим порядок $12 u$ и $- 12 u^{2}$ .

$- 12 u^{2} + 12 u - π + 6 = 0$

Этап 2.4.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.4.5

Подставим значения $a = - 12$ , $b = 12$ и $c = - π + 6$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 12 \cdot (- π + 6))}}{2 \cdot - 12}$

Этап 2.4.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.1.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 12 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Этап 2.4.6.1.2

Умножим $- 4$ на $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Этап 2.4.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 (- π) + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Этап 2.4.6.1.4

Умножим $- 1$ на $48$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Этап 2.4.6.1.5

Умножим $48$ на $6$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 288}}{2 \cdot - 12}$

Этап 2.4.6.1.6

Добавим $144$ и $288$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{2 \cdot - 12}$

Этап 2.4.6.2

Умножим $2$ на $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$

Этап 2.4.6.3

Упростим $\frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Этап 2.4.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.1.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 12 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Этап 2.4.7.1.2

Умножим $- 4$ на $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Этап 2.4.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 (- π) + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Этап 2.4.7.1.4

Умножим $- 1$ на $48$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Этап 2.4.7.1.5

Умножим $48$ на $6$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 288}}{2 \cdot - 12}$

Этап 2.4.7.1.6

Добавим $144$ и $288$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{2 \cdot - 12}$

Этап 2.4.7.2

Умножим $2$ на $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$

Этап 2.4.7.3

Упростим $\frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Этап 2.4.7.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$u = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Этап 2.4.8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.8.1.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 12 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Этап 2.4.8.1.2

Умножим $- 4$ на $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Этап 2.4.8.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 (- π) + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Этап 2.4.8.1.4

Умножим $- 1$ на $48$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Этап 2.4.8.1.5

Умножим $48$ на $6$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 288}}{2 \cdot - 12}$

Этап 2.4.8.1.6

Добавим $144$ и $288$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{2 \cdot - 12}$

Этап 2.4.8.2

Умножим $2$ на $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$

Этап 2.4.8.3

Упростим $\frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Этап 2.4.8.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$u = \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Этап 2.4.9

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}, \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Этап 2.4.10

Подставим $\sin (x)$ вместо $u$ .

$\sin (x) = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}, \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Этап 2.4.11

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

$\sin (x) = \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Этап 2.4.12

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.12.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24})$

Этап 2.4.12.2

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24})$

Этап 2.4.12.3

Избавимся от скобок.

$x = π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24})$

Этап 2.4.12.4

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.12.4.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.4.12.4.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.4.12.4.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.4.12.4.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.4.12.5

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n, π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.4.13

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.13.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24})$

Этап 2.4.13.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.13.2.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24})$ .

$x = - 0.2000451$

Этап 2.4.13.3

$x = (3.14159265) + 0.2000451$

Этап 2.4.13.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.13.4.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 + 0.2000451$

Этап 2.4.13.4.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) + 0.2000451$

Этап 2.4.13.4.3

Добавим $3.14159265$ и $0.2000451$ .

$x = 3.34163776$

Этап 2.4.13.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.13.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.4.13.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.4.13.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.4.13.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.4.13.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.13.6.1

Добавим $2 π$ к $- 0.2000451$ , чтобы найти положительный угол.

$- 0.2000451 + 2 π$

Этап 2.4.13.6.2

Вычтем $0.2000451$ из $2 π$ .

$6.08314019$

Этап 2.4.13.6.3

Перечислим новые углы.

$x = 6.08314019$

Этап 2.4.13.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 3.34163776 + 2 π n, 6.08314019 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.4.14

Перечислим все решения.

$x = \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n, π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n, 3.34163776 + 2 π n, 6.08314019 + 2 π n$ , для любого целого $n$