Тригонометрия Примеры

$b = 20$ , $c = 18$ , $B = 120$

Этап 1

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 2

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $C$ .

$\frac{\sin (C)}{18} = \frac{\sin (120)}{20}$

Этап 3

Решим уравнение относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $18$ .

$18 \frac{\sin (C)}{18} = 18 \frac{\sin (120)}{20}$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$18 \frac{\sin (C)}{18} = 18 \frac{\sin (120)}{20}$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (C) = 18 \frac{\sin (120)}{20}$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $18 \frac{\sin (120)}{20}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$\sin (C) = 2 (9) \frac{\sin (120)}{20}$

Этап 3.2.2.1.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $20$ .

$\sin (C) = 2 \cdot 9 \frac{\sin (120)}{2 \cdot 10}$

Этап 3.2.2.1.1.1.3

Сократим общий множитель.

$\sin (C) = 2 \cdot 9 \frac{\sin (120)}{2 \cdot 10}$

Этап 3.2.2.1.1.1.4

Перепишем это выражение.

$\sin (C) = 9 \frac{\sin (120)}{10}$

Этап 3.2.2.1.1.2

Объединим $9$ и $\frac{\sin (120)}{10}$ .

$\sin (C) = \frac{9 \sin (120)}{10}$

Этап 3.2.2.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\sin (C) = \frac{9 \sin (60)}{10}$

Этап 3.2.2.1.2.2

Точное значение $\sin (60)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (C) = \frac{9 \frac{\sqrt{3}}{2}}{10}$

Этап 3.2.2.1.3

Объединим $9$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (C) = \frac{\frac{9 \sqrt{3}}{2}}{10}$

Этап 3.2.2.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sin (C) = \frac{9 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{10}$

Этап 3.2.2.1.5

Умножим $\frac{9 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.5.1

Умножим $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$ на $\frac{1}{10}$ .

$\sin (C) = \frac{9 \sqrt{3}}{2 \cdot 10}$

Этап 3.2.2.1.5.2

Умножим $2$ на $10$ .

$\sin (C) = \frac{9 \sqrt{3}}{20}$

Этап 3.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $C$ из синуса.

$C = \arcsin (\frac{9 \sqrt{3}}{20})$

Этап 3.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{9 \sqrt{3}}{20})$ .

$C = 51.20776365$

Этап 3.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$C = 180 - 51.20776365$

Этап 3.6

Вычтем $51.20776365$ из $180$ .

$C = 128.79223634$

Этап 3.7

Решение уравнения $C = 51.20776365$ .

$C = 51.20776365, 128.79223634$

Этап 3.8

Исключим недопустимый угол.

$C = 51.20776365$

Этап 4

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$A + 51.20776365 + 120 = 180$

Этап 5

Решим уравнение относительно $A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $51.20776365$ и $120$ .

$A + 171.20776365 = 180$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $A$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $171.20776365$ из обеих частей уравнения.

$A = 180 - 171.20776365$

Этап 5.2.2

Вычтем $171.20776365$ из $180$ .

$A = 8.79223634$

Этап 6

Используем теорему косинусов, чтобы найти неизвестную сторону треугольника по двум другим сторонам и прилежащему углу.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Этап 7

Решим уравнение.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Этап 8

Подставим известные значения в уравнение.

$a = \sqrt{{(20)}^{2} + {(18)}^{2} - 2 \cdot 20 \cdot 18 \cos (8.79223634)}$

Этап 9

Упростим результаты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Возведем $20$ в степень $2$ .

$a = \sqrt{400 + {(18)}^{2} - 2 \cdot 20 \cdot (18 \cos (8.79223634))}$

Этап 9.2

Возведем $18$ в степень $2$ .

$a = \sqrt{400 + 324 - 2 \cdot 20 \cdot (18 \cos (8.79223634))}$

Этап 9.3

Умножим $- 2 \cdot 20 \cdot 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $- 2$ на $20$ .

$a = \sqrt{400 + 324 - 40 \cdot (18 \cos (8.79223634))}$

Этап 9.3.2

Умножим $- 40$ на $18$ .

$a = \sqrt{400 + 324 - 720 \cos (8.79223634)}$

Этап 9.4

Добавим $400$ и $324$ .

$a = \sqrt{724 - 720 \cos (8.79223634)}$

Этап 9.5

Перепишем $724 - 720 \cos (8.79223634)$ в виде $2^{2} (181 - 180 \cos (8.79223634))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Вынесем множитель $4$ из $724$ .

$a = \sqrt{4 (181) - 720 \cos (8.79223634)}$

Этап 9.5.2

Вынесем множитель $4$ из $- 720 \cos (8.79223634)$ .

$a = \sqrt{4 (181) + 4 (- 180 \cos (8.79223634))}$

Этап 9.5.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (181) + 4 (- 180 \cos (8.79223634))$ .

$a = \sqrt{4 (181 - 180 \cos (8.79223634))}$

Этап 9.5.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$a = \sqrt{2^{2} (181 - 180 \cos (8.79223634))}$

Этап 9.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$a = 2 \sqrt{181 - 180 \cos (8.79223634)}$

Этап 10

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

$A = 8.79223634$

$B = 120$

$C = 51.20776365$

$a = 2 \sqrt{181 - 180 \cos (8.79223634)}$

$b = 20$

$c = 18$