Тригонометрия Примеры

$a = 8$ , $c = 7$ , $B = 31.8$

Этап 1

Используем теорему косинусов, чтобы найти неизвестную сторону треугольника по двум другим сторонам и прилежащему углу.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Этап 2

Решим уравнение.

$b = \sqrt{a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)}$

Этап 3

Подставим известные значения в уравнение.

$b = \sqrt{{(8)}^{2} + {(7)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 7 \cos (31.8)}$

Этап 4

Упростим результаты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$b = \sqrt{64 + {(7)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot (7 \cos (31.8))}$

Этап 4.2

Возведем $7$ в степень $2$ .

$b = \sqrt{64 + 49 - 2 \cdot 8 \cdot (7 \cos (31.8))}$

Этап 4.3

Умножим $- 2 \cdot 8 \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 2$ на $8$ .

$b = \sqrt{64 + 49 - 16 \cdot (7 \cos (31.8))}$

Этап 4.3.2

Умножим $- 16$ на $7$ .

$b = \sqrt{64 + 49 - 112 \cos (31.8)}$

Этап 4.4

Добавим $64$ и $49$ .

$b = \sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}$

Этап 5

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 6

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $A$ .

$\frac{\sin (A)}{8} = \frac{\sin (31.8)}{\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}$

Этап 7

Решим уравнение относительно $A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим обе части уравнения на $8$ .

$8 \frac{\sin (A)}{8} = 8 \frac{\sin (31.8)}{\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}$

Этап 7.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$8 \frac{\sin (A)}{8} = 8 \frac{\sin (31.8)}{\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}$

Этап 7.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (A) = 8 \frac{\sin (31.8)}{\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}$

Этап 7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим $8 \frac{\sin (31.8)}{\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Найдем значение $\sin (31.8)$ .

$\sin (A) = 8 \frac{0.52695579}{\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}$

Этап 7.2.2.1.2

Умножим $\frac{0.52695579}{\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}$ на $\frac{\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}{\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}$ .

$\sin (A) = 8 (\frac{0.52695579}{\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}} \cdot \frac{\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}{\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}})$

Этап 7.2.2.1.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.3.1

Умножим $\frac{0.52695579}{\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}$ на $\frac{\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}{\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}$ .

$\sin (A) = 8 \frac{0.52695579 \sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}{\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)} \sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}$

Этап 7.2.2.1.3.2

Возведем $\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}$ в степень $1$ .

$\sin (A) = 8 \frac{0.52695579 \sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}{{\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}^{1} \sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}$

Этап 7.2.2.1.3.3

Возведем $\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}$ в степень $1$ .

$\sin (A) = 8 \frac{0.52695579 \sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}{{\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}^{1} {\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}^{1}}$

Этап 7.2.2.1.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (A) = 8 \frac{0.52695579 \sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}{{\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}^{1 + 1}}$

Этап 7.2.2.1.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (A) = 8 \frac{0.52695579 \sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}{{\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}^{2}}$

Этап 7.2.2.1.3.6

Перепишем ${\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}^{2}$ в виде $113 - 112 \cos (31.8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}$ в виде ${(113 - 112 \cos (31.8))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (A) = 8 \frac{0.52695579 \sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}{{({(113 - 112 \cos (31.8))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 7.2.2.1.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (A) = 8 \frac{0.52695579 \sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}{{(113 - 112 \cos (31.8))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 7.2.2.1.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (A) = 8 \frac{0.52695579 \sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}{{(113 - 112 \cos (31.8))}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.2.2.1.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (A) = 8 \frac{0.52695579 \sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}{{(113 - 112 \cos (31.8))}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.2.2.1.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (A) = 8 \frac{0.52695579 \sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}{{(113 - 112 \cos (31.8))}^{1}}$

Этап 7.2.2.1.3.6.5

Упростим.

$\sin (A) = 8 \frac{0.52695579 \sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}{113 - 112 \cos (31.8)}$

Этап 7.2.2.1.4

Умножим $0.52695579$ на $\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}$ .

$\sin (A) = 8 \frac{2.22397936}{113 - 112 \cos (31.8)}$

Этап 7.2.2.1.5

Найдем значение $\cos (31.8)$ .

$\sin (A) = 8 \frac{2.22397936}{113 - 112 \cdot 0.84989269}$

Этап 7.2.2.1.6

Умножим $- 112$ на $0.84989269$ .

$\sin (A) = 8 \frac{2.22397936}{113 - 95.18798161}$

Этап 7.2.2.1.7

Вычтем $95.18798161$ из $113$ .

$\sin (A) = 8 (\frac{2.22397936}{17.81201838})$

Этап 7.2.2.1.8

Разделим $2.22397936$ на $17.81201838$ .

$\sin (A) = 8 \cdot 0.12485835$

Этап 7.2.2.1.9

Умножим $8$ на $0.12485835$ .

$\sin (A) = 0.99886686$

Этап 7.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $A$ из синуса.

$A = \arcsin (0.99886686)$

Этап 7.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Найдем значение $\arcsin (0.99886686)$ .

$A = 87.27215137$

Этап 7.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$A = 180 - 87.27215137$

Этап 7.6

Вычтем $87.27215137$ из $180$ .

$A = 92.72784862$

Этап 7.7

Решение уравнения $A = 87.27215137$ .

$A = 87.27215137, 92.72784862$

Этап 8

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$87.27215137 + C + 31.8 = 180$

Этап 9

Решим уравнение относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $87.27215137$ и $31.8$ .

$C + 119.07215137 = 180$

Этап 9.2

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $119.07215137$ из обеих частей уравнения.

$C = 180 - 119.07215137$

Этап 9.2.2

Вычтем $119.07215137$ из $180$ .

$C = 60.92784862$

Этап 10

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

$A = 87.27215137$

$B = 31.8$

$C = 60.92784862$

$a = 8$

$b = \sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}$

$c = 7$