Тригонометрия Примеры

$a = 3$ , $b = 4$ , $C = 30$

Этап 1

Используем теорему косинусов, чтобы найти неизвестную сторону треугольника по двум другим сторонам и прилежащему углу.

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

Этап 2

Решим уравнение.

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

Этап 3

Подставим известные значения в уравнение.

$c = \sqrt{{(3)}^{2} + {(4)}^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cos (30)}$

Этап 4

Упростим результаты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$c = \sqrt{9 + {(4)}^{2} - 2 \cdot 3 \cdot (4 \cos (30))}$

Этап 4.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$c = \sqrt{9 + 16 - 2 \cdot 3 \cdot (4 \cos (30))}$

Этап 4.3

Умножим $- 2 \cdot 3 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 2$ на $3$ .

$c = \sqrt{9 + 16 - 6 \cdot (4 \cos (30))}$

Этап 4.3.2

Умножим $- 6$ на $4$ .

$c = \sqrt{9 + 16 - 24 \cos (30)}$

Этап 4.4

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$c = \sqrt{9 + 16 - 24 \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Этап 4.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 24$ .

$c = \sqrt{9 + 16 + 2 (- 12) (\frac{\sqrt{3}}{2})}$

Этап 4.5.2

Сократим общий множитель.

$c = \sqrt{9 + 16 + 2 \cdot (- 12 \frac{\sqrt{3}}{2})}$

Этап 4.5.3

Перепишем это выражение.

$c = \sqrt{9 + 16 - 12 \sqrt{3}}$

Этап 4.6

Добавим $9$ и $16$ .

$c = \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}$

Этап 5

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 6

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $A$ .

$\frac{\sin (A)}{3} = \frac{\sin (30)}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$

Этап 7

Решим уравнение относительно $A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 \frac{\sin (A)}{3} = 3 \frac{\sin (30)}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$

Этап 7.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{\sin (A)}{3} = 3 \frac{\sin (30)}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$

Этап 7.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (A) = 3 \frac{\sin (30)}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$

Этап 7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим $3 \frac{\sin (30)}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$

Этап 7.2.2.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sin (A) = 3 (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}})$

Этап 7.2.2.1.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$ .

$\sin (A) = 3 \frac{1}{2 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$

Этап 7.2.2.1.4

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$ на $\frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$ .

$\sin (A) = 3 (\frac{1}{2 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}} \cdot \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}})$

Этап 7.2.2.1.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.5.1

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$ на $\frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$

Этап 7.2.2.1.5.2

Перенесем $\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 (\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}})}$

Этап 7.2.2.1.5.3

Возведем $\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}$ в степень $1$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 ({\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}^{1} \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}})}$

Этап 7.2.2.1.5.4

Возведем $\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}$ в степень $1$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 ({\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}^{1} {\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}^{1})}$

Этап 7.2.2.1.5.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 {\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}^{1 + 1}}$

Этап 7.2.2.1.5.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 {\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}^{2}}$

Этап 7.2.2.1.5.7

Перепишем ${\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}^{2}$ в виде $25 - 12 \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.5.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}$ в виде ${(25 - 12 \sqrt{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 {({(25 - 12 \sqrt{3})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 7.2.2.1.5.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 {(25 - 12 \sqrt{3})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 7.2.2.1.5.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 {(25 - 12 \sqrt{3})}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.2.2.1.5.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.5.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 {(25 - 12 \sqrt{3})}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.2.2.1.5.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 {(25 - 12 \sqrt{3})}^{1}}$

Этап 7.2.2.1.5.7.5

Упростим.

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 (25 - 12 \sqrt{3})}$

Этап 7.2.2.1.6

Умножим $\frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 (25 - 12 \sqrt{3})}$ на $\frac{25 + 12 \sqrt{3}}{25 + 12 \sqrt{3}}$ .

$\sin (A) = 3 (\frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 (25 - 12 \sqrt{3})} \cdot \frac{25 + 12 \sqrt{3}}{25 + 12 \sqrt{3}})$

Этап 7.2.2.1.7

Умножим $\frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 (25 - 12 \sqrt{3})}$ на $\frac{25 + 12 \sqrt{3}}{25 + 12 \sqrt{3}}$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} (25 + 12 \sqrt{3})}{2 (25 - 12 \sqrt{3}) (25 + 12 \sqrt{3})}$

Этап 7.2.2.1.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.8.1

Перенесем $25 - 12 \sqrt{3}$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} (25 + 12 \sqrt{3})}{2 ((25 - 12 \sqrt{3}) (25 + 12 \sqrt{3}))}$

Этап 7.2.2.1.8.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} (25 + 12 \sqrt{3})}{2 (625 + 300 \sqrt{3} - 300 \sqrt{3} - 144 {\sqrt{3}}^{2})}$

Этап 7.2.2.1.8.3

Упростим.

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} (25 + 12 \sqrt{3})}{2 \cdot 193}$

Этап 7.2.2.1.8.4

Умножим $2$ на $193$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} (25 + 12 \sqrt{3})}{386}$

Этап 7.2.2.1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} \cdot 25 + \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} (12 \sqrt{3})}{386}$

Этап 7.2.2.1.10

Перенесем $25$ влево от $\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}$ .

$\sin (A) = 3 \frac{25 \cdot \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} + \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} (12 \sqrt{3})}{386}$

Этап 7.2.2.1.11

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\sin (A) = 3 \frac{25 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} + 12 \sqrt{(25 - 12 \sqrt{3}) \cdot 3}}{386}$

Этап 7.2.2.1.12

Объединим $3$ и $\frac{25 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} + 12 \sqrt{(25 - 12 \sqrt{3}) \cdot 3}}{386}$ .

$\sin (A) = \frac{3 (25 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} + 12 \sqrt{(25 - 12 \sqrt{3}) \cdot 3})}{386}$

Этап 7.2.2.1.13

Перенесем $3$ влево от $25 - 12 \sqrt{3}$ .

$\sin (A) = \frac{3 (25 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} + 12 \sqrt{3 (25 - 12 \sqrt{3})})}{386}$

Этап 7.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $A$ из синуса.

$A = \arcsin (\frac{3 (25 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} + 12 \sqrt{3 (25 - 12 \sqrt{3})})}{386})$

Этап 7.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{3 (25 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} + 12 \sqrt{3 (25 - 12 \sqrt{3})})}{386})$ .

$A = 46.93568657$

Этап 7.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$A = 180 - 46.93568657$

Этап 7.6

Вычтем $46.93568657$ из $180$ .

$A = 133.06431342$

Этап 7.7

Решение уравнения $A = 46.93568657$ .

$A = 46.93568657, 133.06431342$

Этап 8

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$46.93568657 + 30 + B = 180$

Этап 9

Решим уравнение относительно $B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $46.93568657$ и $30$ .

$76.93568657 + B = 180$

Этап 9.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $76.93568657$ из обеих частей уравнения.

$B = 180 - 76.93568657$

Этап 9.2.2

Вычтем $76.93568657$ из $180$ .

$B = 103.06431342$

Этап 10

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

$A = 46.93568657$

$B = 103.06431342$

$C = 30$

$a = 3$

$b = 4$

$c = \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}$