Тригонометрия Примеры

$a = 28$ , $c = 32$ , $B = 30$

Этап 1

Используем теорему косинусов, чтобы найти неизвестную сторону треугольника по двум другим сторонам и прилежащему углу.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Этап 2

Решим уравнение.

$b = \sqrt{a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)}$

Этап 3

Подставим известные значения в уравнение.

$b = \sqrt{{(28)}^{2} + {(32)}^{2} - 2 \cdot 28 \cdot 32 \cos (30)}$

Этап 4

Упростим результаты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $28$ в степень $2$ .

$b = \sqrt{784 + {(32)}^{2} - 2 \cdot 28 \cdot (32 \cos (30))}$

Этап 4.2

Возведем $32$ в степень $2$ .

$b = \sqrt{784 + 1024 - 2 \cdot 28 \cdot (32 \cos (30))}$

Этап 4.3

Умножим $- 2 \cdot 28 \cdot 32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 2$ на $28$ .

$b = \sqrt{784 + 1024 - 56 \cdot (32 \cos (30))}$

Этап 4.3.2

Умножим $- 56$ на $32$ .

$b = \sqrt{784 + 1024 - 1792 \cos (30)}$

Этап 4.4

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$b = \sqrt{784 + 1024 - 1792 \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Этап 4.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 1792$ .

$b = \sqrt{784 + 1024 + 2 (- 896) (\frac{\sqrt{3}}{2})}$

Этап 4.5.2

Сократим общий множитель.

$b = \sqrt{784 + 1024 + 2 \cdot (- 896 \frac{\sqrt{3}}{2})}$

Этап 4.5.3

Перепишем это выражение.

$b = \sqrt{784 + 1024 - 896 \sqrt{3}}$

Этап 4.6

Добавим $784$ и $1024$ .

$b = \sqrt{1808 - 896 \sqrt{3}}$

Этап 4.7

Перепишем $1808 - 896 \sqrt{3}$ в виде $4^{2} (113 - 56 \sqrt{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Вынесем множитель $16$ из $1808$ .

$b = \sqrt{16 (113) - 896 \sqrt{3}}$

Этап 4.7.2

Вынесем множитель $16$ из $- 896 \sqrt{3}$ .

$b = \sqrt{16 (113) + 16 (- 56 \sqrt{3})}$

Этап 4.7.3

Вынесем множитель $16$ из $16 (113) + 16 (- 56 \sqrt{3})$ .

$b = \sqrt{16 (113 - 56 \sqrt{3})}$

Этап 4.7.4

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$b = \sqrt{4^{2} (113 - 56 \sqrt{3})}$

Этап 4.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$b = 4 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}$

Этап 5

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 6

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $A$ .

$\frac{\sin (A)}{28} = \frac{\sin (30)}{4 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Этап 7

Решим уравнение относительно $A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим обе части уравнения на $28$ .

$28 \frac{\sin (A)}{28} = 28 \frac{\sin (30)}{4 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Этап 7.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель $28$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$28 \frac{\sin (A)}{28} = 28 \frac{\sin (30)}{4 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Этап 7.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (A) = 28 \frac{\sin (30)}{4 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Этап 7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим $28 \frac{\sin (30)}{4 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $28$ .

$\sin (A) = 4 (7) \frac{\sin (30)}{4 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Этап 7.2.2.1.1.2

Вынесем множитель $4$ из $4 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}$ .

$\sin (A) = 4 (7) \frac{\sin (30)}{4 (\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}})}$

Этап 7.2.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$\sin (A) = 4 \cdot 7 \frac{\sin (30)}{4 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Этап 7.2.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$\sin (A) = 7 \frac{\sin (30)}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Этап 7.2.2.1.2

Объединим $7$ и $\frac{\sin (30)}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$ .

$\sin (A) = \frac{7 \sin (30)}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Этап 7.2.2.1.3

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\sin (A) = \frac{7 (\frac{1}{2})}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Этап 7.2.2.1.4

Объединим $7$ и $\frac{1}{2}$ .

$\sin (A) = \frac{\frac{7}{2}}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Этап 7.2.2.1.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sin (A) = \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Этап 7.2.2.1.6

Умножим $\frac{7}{2}$ на $\frac{1}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$ .

$\sin (A) = \frac{7}{2 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Этап 7.2.2.1.7

Умножим $\frac{7}{2 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$ на $\frac{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$ .

$\sin (A) = \frac{7}{2 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}} \cdot \frac{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Этап 7.2.2.1.8

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.8.1

Умножим $\frac{7}{2 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$ на $\frac{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$ .

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Этап 7.2.2.1.8.2

Перенесем $\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}$ .

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 (\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}})}$

Этап 7.2.2.1.8.3

Возведем $\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}$ в степень $1$ .

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 ({\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}^{1} \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}})}$

Этап 7.2.2.1.8.4

Возведем $\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}$ в степень $1$ .

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 ({\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}^{1} {\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}^{1})}$

Этап 7.2.2.1.8.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 {\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}^{1 + 1}}$

Этап 7.2.2.1.8.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 {\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}^{2}}$

Этап 7.2.2.1.8.7

Перепишем ${\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}^{2}$ в виде $113 - 56 \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.8.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}$ в виде ${(113 - 56 \sqrt{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 {({(113 - 56 \sqrt{3})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 7.2.2.1.8.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 {(113 - 56 \sqrt{3})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 7.2.2.1.8.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 {(113 - 56 \sqrt{3})}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.2.2.1.8.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.8.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 {(113 - 56 \sqrt{3})}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.2.2.1.8.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 {(113 - 56 \sqrt{3})}^{1}}$

Этап 7.2.2.1.8.7.5

Упростим.

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 (113 - 56 \sqrt{3})}$

Этап 7.2.2.1.9

Умножим $\frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 (113 - 56 \sqrt{3})}$ на $\frac{113 + 56 \sqrt{3}}{113 + 56 \sqrt{3}}$ .

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 (113 - 56 \sqrt{3})} \cdot \frac{113 + 56 \sqrt{3}}{113 + 56 \sqrt{3}}$

Этап 7.2.2.1.10

Умножим $\frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 (113 - 56 \sqrt{3})}$ на $\frac{113 + 56 \sqrt{3}}{113 + 56 \sqrt{3}}$ .

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} (113 + 56 \sqrt{3})}{2 (113 - 56 \sqrt{3}) (113 + 56 \sqrt{3})}$

Этап 7.2.2.1.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.11.1

Перенесем $113 - 56 \sqrt{3}$ .

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} (113 + 56 \sqrt{3})}{2 ((113 - 56 \sqrt{3}) (113 + 56 \sqrt{3}))}$

Этап 7.2.2.1.11.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} (113 + 56 \sqrt{3})}{2 (12769 + 6328 \sqrt{3} - 6328 \sqrt{3} - 3136 {\sqrt{3}}^{2})}$

Этап 7.2.2.1.11.3

Упростим.

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} (113 + 56 \sqrt{3})}{2 \cdot 3361}$

Этап 7.2.2.1.11.4

Умножим $2$ на $3361$ .

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} (113 + 56 \sqrt{3})}{6722}$

Этап 7.2.2.1.11.5

Сгруппируем $113 + 56 \sqrt{3}$ и $\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}$ .

$\sin (A) = \frac{7 ((113 + 56 \sqrt{3}) \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}})}{6722}$

Этап 7.2.2.1.12

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (A) = \frac{7 (113 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} + 56 \sqrt{3} \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}})}{6722}$

Этап 7.2.2.1.13

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\sin (A) = \frac{7 (113 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} + 56 \sqrt{(113 - 56 \sqrt{3}) \cdot 3})}{6722}$

Этап 7.2.2.1.14

Перенесем $3$ влево от $113 - 56 \sqrt{3}$ .

$\sin (A) = \frac{7 (113 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} + 56 \sqrt{3 (113 - 56 \sqrt{3})})}{6722}$

Этап 7.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $A$ из синуса.

$A = \arcsin (\frac{7 (113 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} + 56 \sqrt{3 (113 - 56 \sqrt{3})})}{6722})$

Этап 7.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{7 (113 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} + 56 \sqrt{3 (113 - 56 \sqrt{3})})}{6722})$ .

$A = 61.02830255$

Этап 7.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$A = 180 - 61.02830255$

Этап 7.6

Вычтем $61.02830255$ из $180$ .

$A = 118.97169744$

Этап 7.7

Решение уравнения $A = 61.02830255$ .

$A = 61.02830255, 118.97169744$

Этап 8

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$61.02830255 + C + 30 = 180$

Этап 9

Решим уравнение относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $61.02830255$ и $30$ .

$C + 91.02830255 = 180$

Этап 9.2

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $91.02830255$ из обеих частей уравнения.

$C = 180 - 91.02830255$

Этап 9.2.2

Вычтем $91.02830255$ из $180$ .

$C = 88.97169744$

Этап 10

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

$A = 61.02830255$

$B = 30$

$C = 88.97169744$

$a = 28$

$b = 4 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}$

$c = 32$