Тригонометрия Примеры

$A = 35$ , $C = 25$ , $b = 22$

Этап 1

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$35 + 25 + B = 180$

Этап 2

Решим уравнение относительно $B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $35$ и $25$ .

$60 + B = 180$

Этап 2.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $60$ из обеих частей уравнения.

$B = 180 - 60$

Этап 2.2.2

Вычтем $60$ из $180$ .

$B = 120$

Этап 3

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 4

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $a$ .

$\frac{\sin (35)}{a} = \frac{\sin (120)}{22}$

Этап 5

Решим уравнение относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Найдем значение $\sin (35)$ .

$\frac{0.57357643}{a} = \frac{\sin (120)}{22}$

Этап 5.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{0.57357643}{a} = \frac{\sin (60)}{22}$

Этап 5.1.2.2

Точное значение $\sin (60)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.57357643}{a} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{22}$

Этап 5.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{0.57357643}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{22}$

Этап 5.1.4

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{22}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\frac{1}{22}$ .

$\frac{0.57357643}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 22}$

Этап 5.1.4.2

Умножим $2$ на $22$ .

$\frac{0.57357643}{a} = \frac{\sqrt{3}}{44}$

Этап 5.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$a, 44$

Этап 5.2.2

Since $a, 44$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 44$ then find LCM for the variable part $a^{1}$ .

Этап 5.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 5.2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 5.2.5

Простыми множителями $44$ являются $2 \cdot 2 \cdot 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

У $44$ есть множители: $2$ и $22$ .

$2 \cdot 22$

Этап 5.2.5.2

У $22$ есть множители: $2$ и $11$ .

$2 \cdot 2 \cdot 11$

Этап 5.2.6

Умножим $2 \cdot 2 \cdot 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \cdot 11$

Этап 5.2.6.2

Умножим $4$ на $11$ .

$44$

Этап 5.2.7

Множителем $a^{1}$ является само значение $a$ .

$a^{1} = a$

$a$ встречается $1$ раз.

Этап 5.2.8

НОК $a^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$a$

Этап 5.2.9

НОК $a, 44$ представляет собой произведение числовой части $44$ и переменной части.

$44 a$

Этап 5.3

Каждый член в $\frac{0.57357643}{a} = \frac{\sqrt{3}}{44}$ умножим на $44 a$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим каждый член $\frac{0.57357643}{a} = \frac{\sqrt{3}}{44}$ на $44 a$ .

$\frac{0.57357643}{a} (44 a) = \frac{\sqrt{3}}{44} (44 a)$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$44 \frac{0.57357643}{a} a = \frac{\sqrt{3}}{44} (44 a)$

Этап 5.3.2.2

Умножим $44 \frac{0.57357643}{a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Объединим $44$ и $\frac{0.57357643}{a}$ .

$\frac{44 \cdot 0.57357643}{a} a = \frac{\sqrt{3}}{44} (44 a)$

Этап 5.3.2.2.2

Умножим $44$ на $0.57357643$ .

$\frac{25.23736319}{a} a = \frac{\sqrt{3}}{44} (44 a)$

Этап 5.3.2.3

Сократим общий множитель $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{25.23736319}{a} a = \frac{\sqrt{3}}{44} (44 a)$

Этап 5.3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$25.23736319 = \frac{\sqrt{3}}{44} (44 a)$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель $44$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем множитель $44$ из $44 a$ .

$25.23736319 = \frac{\sqrt{3}}{44} (44 (a))$

Этап 5.3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$25.23736319 = \frac{\sqrt{3}}{44} (44 a)$

Этап 5.3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$25.23736319 = \sqrt{3} a$

Этап 5.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{3} a = 25.23736319$ .

$\sqrt{3} a = 25.23736319$

Этап 5.4.2

Разделим каждый член $\sqrt{3} a = 25.23736319$ на $\sqrt{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Разделим каждый член $\sqrt{3} a = 25.23736319$ на $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} a}{\sqrt{3}} = \frac{25.23736319}{\sqrt{3}}$

Этап 5.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель $\sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{3} a}{\sqrt{3}} = \frac{25.23736319}{\sqrt{3}}$

Этап 5.4.2.2.1.2

Разделим $a$ на $1$ .

$a = \frac{25.23736319}{\sqrt{3}}$

Этап 5.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.1

Умножим $\frac{25.23736319}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$a = \frac{25.23736319}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 5.4.2.3.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.2.1

Умножим $\frac{25.23736319}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$a = \frac{25.23736319 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 5.4.2.3.2.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$a = \frac{25.23736319 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 5.4.2.3.2.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$a = \frac{25.23736319 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 5.4.2.3.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$a = \frac{25.23736319 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 5.4.2.3.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$a = \frac{25.23736319 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 5.4.2.3.2.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$a = \frac{25.23736319 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.4.2.3.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a = \frac{25.23736319 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.4.2.3.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$a = \frac{25.23736319 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.4.2.3.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$a = \frac{25.23736319 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.4.2.3.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$a = \frac{25.23736319 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 5.4.2.3.2.6.5

Найдем экспоненту.

$a = \frac{25.23736319 \sqrt{3}}{3}$

Этап 5.4.2.3.3

Умножим $25.23736319$ на $\sqrt{3}$ .

$a = \frac{43.71239531}{3}$

Этап 5.4.2.3.4

Разделим $43.71239531$ на $3$ .

$a = 14.57079843$

Этап 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 7

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $c$ .

$\frac{\sin (25)}{c} = \frac{\sin (35)}{14.57079843}$

Этап 8

Решим уравнение относительно $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Найдем значение $\sin (25)$ .

$\frac{0.42261826}{c} = \frac{\sin (35)}{14.57079843}$

Этап 8.1.2

Найдем значение $\sin (35)$ .

$\frac{0.42261826}{c} = \frac{0.57357643}{14.57079843}$

Этап 8.1.3

Разделим $0.57357643$ на $14.57079843$ .

$\frac{0.42261826}{c} = 0.03936479$

Этап 8.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$c, 1$

Этап 8.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$c$

Этап 8.3

Каждый член в $\frac{0.42261826}{c} = 0.03936479$ умножим на $c$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим каждый член $\frac{0.42261826}{c} = 0.03936479$ на $c$ .

$\frac{0.42261826}{c} c = 0.03936479 c$

Этап 8.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Сократим общий множитель $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.42261826}{c} c = 0.03936479 c$

Этап 8.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$0.42261826 = 0.03936479 c$

Этап 8.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Перепишем уравнение в виде $0.03936479 c = 0.42261826$ .

$0.03936479 c = 0.42261826$

Этап 8.4.2

Разделим каждый член $0.03936479 c = 0.42261826$ на $0.03936479$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Разделим каждый член $0.03936479 c = 0.42261826$ на $0.03936479$ .

$\frac{0.03936479 c}{0.03936479} = \frac{0.42261826}{0.03936479}$

Этап 8.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.2.1

Сократим общий множитель $0.03936479$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.03936479 c}{0.03936479} = \frac{0.42261826}{0.03936479}$

Этап 8.4.2.2.1.2

Разделим $c$ на $1$ .

$c = \frac{0.42261826}{0.03936479}$

Этап 8.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.3.1

Разделим $0.42261826$ на $0.03936479$ .

$c = 10.73594575$

Этап 9

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

$A = 35$

$B = 120$

$C = 25$

$a = 14.57079843$

$b = 22$

$c = 10.73594575$