Тригонометрия Примеры

$b = 118$ , $c = 36$ , $C = 14$

Этап 1

Теорема синусов дает неоднозначный результат. Это указывает на существование $2$ углов, при которых уравнение имеет корректное решение. Для первого треугольника используем первое возможное значение угла.

Найдем решение для первого треугольника.

Этап 2

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 3

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $B$ .

$\frac{\sin (B)}{118} = \frac{\sin (14)}{36}$

Этап 4

Решим уравнение относительно $B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим обе части уравнения на $118$ .

$118 \frac{\sin (B)}{118} = 118 \frac{\sin (14)}{36}$

Этап 4.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель $118$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$118 \frac{\sin (B)}{118} = 118 \frac{\sin (14)}{36}$

Этап 4.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (B) = 118 \frac{\sin (14)}{36}$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим $118 \frac{\sin (14)}{36}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $118$ .

$\sin (B) = 2 (59) \frac{\sin (14)}{36}$

Этап 4.2.2.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $36$ .

$\sin (B) = 2 \cdot 59 \frac{\sin (14)}{2 \cdot 18}$

Этап 4.2.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$\sin (B) = 2 \cdot 59 \frac{\sin (14)}{2 \cdot 18}$

Этап 4.2.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$\sin (B) = 59 \frac{\sin (14)}{18}$

Этап 4.2.2.1.2

Объединим $59$ и $\frac{\sin (14)}{18}$ .

$\sin (B) = \frac{59 \sin (14)}{18}$

Этап 4.2.2.1.3

Найдем значение $\sin (14)$ .

$\sin (B) = \frac{59 \cdot 0.24192189}{18}$

Этап 4.2.2.1.4

Умножим $59$ на $0.24192189$ .

$\sin (B) = \frac{14.27339184}{18}$

Этап 4.2.2.1.5

Разделим $14.27339184$ на $18$ .

$\sin (B) = 0.79296621$

Этап 4.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $B$ из синуса.

$B = \arcsin (0.79296621)$

Этап 4.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Найдем значение $\arcsin (0.79296621)$ .

$B = 52.46357923$

Этап 4.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$B = 180 - 52.46357923$

Этап 4.6

Вычтем $52.46357923$ из $180$ .

$B = 127.53642076$

Этап 4.7

Решение уравнения $B = 52.46357923$ .

$B = 52.46357923, 127.53642076$

Этап 5

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$A + 14 + 52.46357923 = 180$

Этап 6

Решим уравнение относительно $A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Добавим $14$ и $52.46357923$ .

$A + 66.46357923 = 180$

Этап 6.2

Перенесем все члены без $A$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $66.46357923$ из обеих частей уравнения.

$A = 180 - 66.46357923$

Этап 6.2.2

Вычтем $66.46357923$ из $180$ .

$A = 113.53642076$

Этап 7

Используем теорему косинусов, чтобы найти неизвестную сторону треугольника по двум другим сторонам и прилежащему углу.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Этап 8

Решим уравнение.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Этап 9

Подставим известные значения в уравнение.

$a = \sqrt{{(118)}^{2} + {(36)}^{2} - 2 \cdot 118 \cdot 36 \cos (113.53642076)}$

Этап 10

Упростим результаты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Возведем $118$ в степень $2$ .

$a = \sqrt{13924 + {(36)}^{2} - 2 \cdot 118 \cdot (36 \cos (113.53642076))}$

Этап 10.2

Возведем $36$ в степень $2$ .

$a = \sqrt{13924 + 1296 - 2 \cdot 118 \cdot (36 \cos (113.53642076))}$

Этап 10.3

Умножим $- 2 \cdot 118 \cdot 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Умножим $- 2$ на $118$ .

$a = \sqrt{13924 + 1296 - 236 \cdot (36 \cos (113.53642076))}$

Этап 10.3.2

Умножим $- 236$ на $36$ .

$a = \sqrt{13924 + 1296 - 8496 \cos (113.53642076)}$

Этап 10.4

Добавим $13924$ и $1296$ .

$a = \sqrt{15220 - 8496 \cos (113.53642076)}$

Этап 10.5

Перепишем $15220 - 8496 \cos (113.53642076)$ в виде $2^{2} (3805 - 2124 \cos (113.53642076))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Вынесем множитель $4$ из $15220$ .

$a = \sqrt{4 (3805) - 8496 \cos (113.53642076)}$

Этап 10.5.2

Вынесем множитель $4$ из $- 8496 \cos (113.53642076)$ .

$a = \sqrt{4 (3805) + 4 (- 2124 \cos (113.53642076))}$

Этап 10.5.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (3805) + 4 (- 2124 \cos (113.53642076))$ .

$a = \sqrt{4 (3805 - 2124 \cos (113.53642076))}$

Этап 10.5.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$a = \sqrt{2^{2} (3805 - 2124 \cos (113.53642076))}$

Этап 10.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$a = 2 \sqrt{3805 - 2124 \cos (113.53642076)}$

Этап 11

Для второго треугольника воспользуемся вторым возможным значением угла.

Найдем решение для второго треугольника.

Этап 12

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 13

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $B$ .

$\frac{\sin (B)}{118} = \frac{\sin (14)}{36}$

Этап 14

Решим уравнение относительно $B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим обе части уравнения на $118$ .

$118 \frac{\sin (B)}{118} = 118 \frac{\sin (14)}{36}$

Этап 14.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.1

Сократим общий множитель $118$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$118 \frac{\sin (B)}{118} = 118 \frac{\sin (14)}{36}$

Этап 14.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (B) = 118 \frac{\sin (14)}{36}$

Этап 14.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1

Упростим $118 \frac{\sin (14)}{36}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $118$ .

$\sin (B) = 2 (59) \frac{\sin (14)}{36}$

Этап 14.2.2.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $36$ .

$\sin (B) = 2 \cdot 59 \frac{\sin (14)}{2 \cdot 18}$

Этап 14.2.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$\sin (B) = 2 \cdot 59 \frac{\sin (14)}{2 \cdot 18}$

Этап 14.2.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$\sin (B) = 59 \frac{\sin (14)}{18}$

Этап 14.2.2.1.2

Объединим $59$ и $\frac{\sin (14)}{18}$ .

$\sin (B) = \frac{59 \sin (14)}{18}$

Этап 14.2.2.1.3

Найдем значение $\sin (14)$ .

$\sin (B) = \frac{59 \cdot 0.24192189}{18}$

Этап 14.2.2.1.4

Умножим $59$ на $0.24192189$ .

$\sin (B) = \frac{14.27339184}{18}$

Этап 14.2.2.1.5

Разделим $14.27339184$ на $18$ .

$\sin (B) = 0.79296621$

Этап 14.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $B$ из синуса.

$B = \arcsin (0.79296621)$

Этап 14.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Найдем значение $\arcsin (0.79296621)$ .

$B = 52.46357923$

Этап 14.5

$B = 180 - 52.46357923$

Этап 14.6

Вычтем $52.46357923$ из $180$ .

$B = 127.53642076$

Этап 14.7

Решение уравнения $B = 52.46357923$ .

$B = 52.46357923, 127.53642076$

Этап 15

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$A + 14 + 127.53642076 = 180$

Этап 16

Решим уравнение относительно $A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Добавим $14$ и $127.53642076$ .

$A + 141.53642076 = 180$

Этап 16.2

Перенесем все члены без $A$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Вычтем $141.53642076$ из обеих частей уравнения.

$A = 180 - 141.53642076$

Этап 16.2.2

Вычтем $141.53642076$ из $180$ .

$A = 38.46357923$

Этап 17

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 18

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $a$ .

$\frac{\sin (38.46357923)}{a} = \frac{\sin (127.53642076)}{118}$

Этап 19

Решим уравнение относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.1

Найдем значение $\sin (38.46357923)$ .

$\frac{0.62201703}{a} = \frac{\sin (127.53642076)}{118}$

Этап 19.1.2

Найдем значение $\sin (127.53642076)$ .

$\frac{0.62201703}{a} = \frac{0.79296621}{118}$

Этап 19.1.3

Разделим $0.79296621$ на $118$ .

$\frac{0.62201703}{a} = 0.00672005$

Этап 19.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$a, 1$

Этап 19.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$a$

Этап 19.3

Каждый член в $\frac{0.62201703}{a} = 0.00672005$ умножим на $a$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.1

Умножим каждый член $\frac{0.62201703}{a} = 0.00672005$ на $a$ .

$\frac{0.62201703}{a} a = 0.00672005 a$

Этап 19.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.2.1

Сократим общий множитель $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.62201703}{a} a = 0.00672005 a$

Этап 19.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$0.62201703 = 0.00672005 a$

Этап 19.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.4.1

Перепишем уравнение в виде $0.00672005 a = 0.62201703$ .

$0.00672005 a = 0.62201703$

Этап 19.4.2

Разделим каждый член $0.00672005 a = 0.62201703$ на $0.00672005$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.4.2.1

Разделим каждый член $0.00672005 a = 0.62201703$ на $0.00672005$ .

$\frac{0.00672005 a}{0.00672005} = \frac{0.62201703}{0.00672005}$

Этап 19.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.4.2.2.1

Сократим общий множитель $0.00672005$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.00672005 a}{0.00672005} = \frac{0.62201703}{0.00672005}$

Этап 19.4.2.2.1.2

Разделим $a$ на $1$ .

$a = \frac{0.62201703}{0.00672005}$

Этап 19.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.4.2.3.1

Разделим $0.62201703$ на $0.00672005$ .

$a = 92.56133371$

Этап 20

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

Комбинация первого треугольника:

$A = 113.53642076$

$B = 52.46357923$

$C = 14$

$a = 2 \sqrt{3805 - 2124 \cos (113.53642076)}$

$b = 118$

$c = 36$

Комбинация второго треугольника:

$A = 38.46357923$

$B = 127.53642076$

$C = 14$

$a = 92.56133371$

$b = 118$

$c = 36$