Тригонометрия Примеры

$b = 1$ , $c = 2$ , $A = 150$

Этап 1

Используем теорему косинусов, чтобы найти неизвестную сторону треугольника по двум другим сторонам и прилежащему углу.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Этап 2

Решим уравнение.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Этап 3

Подставим известные значения в уравнение.

$a = \sqrt{{(1)}^{2} + {(2)}^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cos (150)}$

Этап 4

Упростим результаты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Единица в любой степени равна единице.

$a = \sqrt{1 + {(2)}^{2} - 2 \cdot 1 \cdot (2 \cos (150))}$

Этап 4.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$a = \sqrt{1 + 4 - 2 \cdot 1 \cdot (2 \cos (150))}$

Этап 4.3

Умножим $- 2 \cdot 1 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$a = \sqrt{1 + 4 - 2 \cdot (2 \cos (150))}$

Этап 4.3.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$a = \sqrt{1 + 4 - 4 \cos (150)}$

Этап 4.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$a = \sqrt{1 + 4 - 4 (- \cos (30))}$

Этап 4.5

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$a = \sqrt{1 + 4 - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})}$

Этап 4.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$a = \sqrt{1 + 4 - 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}}$

Этап 4.6.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$a = \sqrt{1 + 4 + 2 (- 2) (\frac{- \sqrt{3}}{2})}$

Этап 4.6.3

Сократим общий множитель.

$a = \sqrt{1 + 4 + 2 \cdot (- 2 \frac{- \sqrt{3}}{2})}$

Этап 4.6.4

Перепишем это выражение.

$a = \sqrt{1 + 4 - 2 (- \sqrt{3})}$

Этап 4.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$a = \sqrt{1 + 4 + 2 \sqrt{3}}$

Этап 4.7.2

Добавим $1$ и $4$ .

$a = \sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}$

Этап 5

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 6

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $B$ .

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$

Этап 7

Решим уравнение относительно $B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Чтобы две функции были равны, аргументы каждой из них должны быть одинаковыми.

$B = 150$

Этап 7.2

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$B = 180 - 150$

Этап 7.3

Вычтем $150$ из $180$ .

$B = 30$

Этап 7.4

Решение уравнения $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ .

$B = 150, 30$

Этап 7.5

Исключим решения, которые не делают $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ истинным.

$Нет решения$

Этап 8

Заданных параметров недостаточно, чтобы найти треугольник.

Неизвестный треугольник

Этап 9

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 10

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $B$ .

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$

Этап 11

Решим уравнение относительно $B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Чтобы две функции были равны, аргументы каждой из них должны быть одинаковыми.

$B = 150$

Этап 11.2

$B = 180 - 150$

Этап 11.3

Вычтем $150$ из $180$ .

$B = 30$

Этап 11.4

Решение уравнения $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ .

$B = 150, 30$

Этап 11.5

Исключим решения, которые не делают $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ истинным.

$Нет решения$

Этап 12

Заданных параметров недостаточно, чтобы найти треугольник.

Неизвестный треугольник

Этап 13

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 14

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $B$ .

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$

Этап 15

Решим уравнение относительно $B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Чтобы две функции были равны, аргументы каждой из них должны быть одинаковыми.

$B = 150$

Этап 15.2

$B = 180 - 150$

Этап 15.3

Вычтем $150$ из $180$ .

$B = 30$

Этап 15.4

Решение уравнения $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ .

$B = 150, 30$

Этап 15.5

Исключим решения, которые не делают $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ истинным.

$Нет решения$

Этап 16

Заданных параметров недостаточно, чтобы найти треугольник.

Неизвестный треугольник

Этап 17

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 18

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $B$ .

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$

Этап 19

Решим уравнение относительно $B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Чтобы две функции были равны, аргументы каждой из них должны быть одинаковыми.

$B = 150$

Этап 19.2

$B = 180 - 150$

Этап 19.3

Вычтем $150$ из $180$ .

$B = 30$

Этап 19.4

Решение уравнения $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ .

$B = 150, 30$

Этап 19.5

Исключим решения, которые не делают $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ истинным.

$Нет решения$

Этап 20

Заданных параметров недостаточно, чтобы найти треугольник.

Неизвестный треугольник

Этап 21

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 22

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $B$ .

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$

Этап 23

Решим уравнение относительно $B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Чтобы две функции были равны, аргументы каждой из них должны быть одинаковыми.

$B = 150$

Этап 23.2

$B = 180 - 150$

Этап 23.3

Вычтем $150$ из $180$ .

$B = 30$

Этап 23.4

Решение уравнения $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ .

$B = 150, 30$

Этап 23.5

Исключим решения, которые не делают $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ истинным.

$Нет решения$

Этап 24

Заданных параметров недостаточно, чтобы найти треугольник.

Неизвестный треугольник