Тригонометрия Примеры

$a = 8$ , $c = 9$ , $B = 118$

Этап 1

Используем теорему косинусов, чтобы найти неизвестную сторону треугольника по двум другим сторонам и прилежащему углу.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Этап 2

Решим уравнение.

$b = \sqrt{a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)}$

Этап 3

Подставим известные значения в уравнение.

$b = \sqrt{{(8)}^{2} + {(9)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 9 \cos (118)}$

Этап 4

Упростим результаты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$b = \sqrt{64 + {(9)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot (9 \cos (118))}$

Этап 4.2

Возведем $9$ в степень $2$ .

$b = \sqrt{64 + 81 - 2 \cdot 8 \cdot (9 \cos (118))}$

Этап 4.3

Умножим $- 2 \cdot 8 \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 2$ на $8$ .

$b = \sqrt{64 + 81 - 16 \cdot (9 \cos (118))}$

Этап 4.3.2

Умножим $- 16$ на $9$ .

$b = \sqrt{64 + 81 - 144 \cos (118)}$

Этап 4.4

Найдем значение $\cos (118)$ .

$b = \sqrt{64 + 81 - 144 \cdot - 0.46947156}$

Этап 4.5

Умножим $- 144$ на $- 0.46947156$ .

$b = \sqrt{64 + 81 + 67.60390504}$

Этап 4.6

Добавим $64$ и $81$ .

$b = \sqrt{145 + 67.60390504}$

Этап 4.7

Добавим $145$ и $67.60390504$ .

$b = \sqrt{212.60390504}$

Этап 4.8

Найдем значение корня.

$b = 14.58094321$

Этап 5

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 6

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $A$ .

$\frac{\sin (A)}{8} = \frac{\sin (118)}{14.58094321}$

Этап 7

Решим уравнение относительно $A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим обе части уравнения на $8$ .

$8 \frac{\sin (A)}{8} = 8 \frac{\sin (118)}{14.58094321}$

Этап 7.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$8 \frac{\sin (A)}{8} = 8 \frac{\sin (118)}{14.58094321}$

Этап 7.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (A) = 8 \frac{\sin (118)}{14.58094321}$

Этап 7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим $8 \frac{\sin (118)}{14.58094321}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Найдем значение $\sin (118)$ .

$\sin (A) = 8 (\frac{0.88294759}{14.58094321})$

Этап 7.2.2.1.2

Разделим $0.88294759$ на $14.58094321$ .

$\sin (A) = 8 \cdot 0.0605549$

Этап 7.2.2.1.3

Умножим $8$ на $0.0605549$ .

$\sin (A) = 0.48443921$

Этап 7.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $A$ из синуса.

$A = \arcsin (0.48443921)$

Этап 7.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Найдем значение $\arcsin (0.48443921)$ .

$A = 28.97573809$

Этап 7.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$A = 180 - 28.97573809$

Этап 7.6

Вычтем $28.97573809$ из $180$ .

$A = 151.0242619$

Этап 7.7

Решение уравнения $A = 28.97573809$ .

$A = 28.97573809, 151.0242619$

Этап 7.8

Исключим недопустимый угол.

$A = 28.97573809$

Этап 8

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$28.97573809 + C + 118 = 180$

Этап 9

Решим уравнение относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $28.97573809$ и $118$ .

$C + 146.97573809 = 180$

Этап 9.2

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $146.97573809$ из обеих частей уравнения.

$C = 180 - 146.97573809$

Этап 9.2.2

Вычтем $146.97573809$ из $180$ .

$C = 33.0242619$

Этап 10

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

$A = 28.97573809$

$B = 118$

$C = 33.0242619$

$a = 8$

$b = 14.58094321$

$c = 9$