Тригонометрия Примеры

$A = 70$ , $B = 15$ , $b = 23.1$

Этап 1

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 2

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $a$ .

$\frac{\sin (70)}{a} = \frac{\sin (15)}{23.1}$

Этап 3

Решим уравнение относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Найдем значение $\sin (70)$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\sin (15)}{23.1}$

Этап 3.1.2

Точное значение $\sin (15)$ : $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разделим $15$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\sin (45 - 30)}{23.1}$

Этап 3.1.2.2

Выделим отрицательную часть.

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\sin (45 - (30))}{23.1}$

Этап 3.1.2.3

Применим формулу для разности углов.

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{23.1}$

Этап 3.1.2.4

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{23.1}$

Этап 3.1.2.5

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)}{23.1}$

Этап 3.1.2.6

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)}{23.1}$

Этап 3.1.2.7

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{23.1}$

Этап 3.1.2.8

Упростим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.8.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.8.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{23.1}$

Этап 3.1.2.8.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{23.1}$

Этап 3.1.2.8.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{23.1}$

Этап 3.1.2.8.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{23.1}$

Этап 3.1.2.8.1.2

Умножим $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.8.1.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{23.1}$

Этап 3.1.2.8.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{23.1}$

Этап 3.1.2.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{23.1}$

Этап 3.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{23.1}$

Этап 3.1.4

Разделим $1$ на $23.1$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot 0.\overline{043290}$

Этап 3.1.5

Умножим $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot 0.\overline{043290}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Объединим $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ и $0.\overline{043290}$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 0.\overline{043290}}{4}$

Этап 3.1.5.2

Умножим $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ на $0.\overline{043290}$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{0.04481715}{4}$

Этап 3.1.6

Разделим $0.04481715$ на $4$ .

$\frac{0.93969262}{a} = 0.01120428$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$a, 1$

Этап 3.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$a$

Этап 3.3

Каждый член в $\frac{0.93969262}{a} = 0.01120428$ умножим на $a$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $\frac{0.93969262}{a} = 0.01120428$ на $a$ .

$\frac{0.93969262}{a} a = 0.01120428 a$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.93969262}{a} a = 0.01120428 a$

Этап 3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$0.93969262 = 0.01120428 a$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $0.01120428 a = 0.93969262$ .

$0.01120428 a = 0.93969262$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $0.01120428 a = 0.93969262$ на $0.01120428$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $0.01120428 a = 0.93969262$ на $0.01120428$ .

$\frac{0.01120428 a}{0.01120428} = \frac{0.93969262}{0.01120428}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $0.01120428$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.01120428 a}{0.01120428} = \frac{0.93969262}{0.01120428}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Разделим $a$ на $1$ .

$a = \frac{0.93969262}{0.01120428}$

Этап 3.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Разделим $0.93969262$ на $0.01120428$ .

$a = 83.86901949$

Этап 4

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$70 + C + 15 = 180$

Этап 5

Решим уравнение относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $70$ и $15$ .

$C + 85 = 180$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $85$ из обеих частей уравнения.

$C = 180 - 85$

Этап 5.2.2

Вычтем $85$ из $180$ .

$C = 95$

Этап 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 7

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $c$ .

$\frac{\sin (95)}{c} = \frac{\sin (70)}{83.86901949}$

Этап 8

Решим уравнение относительно $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Найдем значение $\sin (95)$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\sin (70)}{83.86901949}$

Этап 8.1.2

Найдем значение $\sin (70)$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{0.93969262}{83.86901949}$

Этап 8.1.3

Разделим $0.93969262$ на $83.86901949$ .

$\frac{0.99619469}{c} = 0.01120428$

Этап 8.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$c, 1$

Этап 8.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$c$

Этап 8.3

Каждый член в $\frac{0.99619469}{c} = 0.01120428$ умножим на $c$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим каждый член $\frac{0.99619469}{c} = 0.01120428$ на $c$ .

$\frac{0.99619469}{c} c = 0.01120428 c$

Этап 8.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Сократим общий множитель $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.99619469}{c} c = 0.01120428 c$

Этап 8.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$0.99619469 = 0.01120428 c$

Этап 8.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Перепишем уравнение в виде $0.01120428 c = 0.99619469$ .

$0.01120428 c = 0.99619469$

Этап 8.4.2

Разделим каждый член $0.01120428 c = 0.99619469$ на $0.01120428$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Разделим каждый член $0.01120428 c = 0.99619469$ на $0.01120428$ .

$\frac{0.01120428 c}{0.01120428} = \frac{0.99619469}{0.01120428}$

Этап 8.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.2.1

Сократим общий множитель $0.01120428$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.01120428 c}{0.01120428} = \frac{0.99619469}{0.01120428}$

Этап 8.4.2.2.1.2

Разделим $c$ на $1$ .

$c = \frac{0.99619469}{0.01120428}$

Этап 8.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.3.1

Разделим $0.99619469$ на $0.01120428$ .

$c = 88.91191726$

Этап 9

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

$A = 70$

$B = 15$

$C = 95$

$a = 83.86901949$

$b = 23.1$

$c = 88.91191726$