Тригонометрия Примеры

$a = 7$ , $b = 9$ , $C = 60$

Этап 1

Используем теорему косинусов, чтобы найти неизвестную сторону треугольника по двум другим сторонам и прилежащему углу.

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

Этап 2

Решим уравнение.

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

Этап 3

Подставим известные значения в уравнение.

$c = \sqrt{{(7)}^{2} + {(9)}^{2} - 2 \cdot 7 \cdot 9 \cos (60)}$

Этап 4

Упростим результаты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$c = \sqrt{49 + {(9)}^{2} - 2 \cdot 7 \cdot (9 \cos (60))}$

Этап 4.2

Возведем $9$ в степень $2$ .

$c = \sqrt{49 + 81 - 2 \cdot 7 \cdot (9 \cos (60))}$

Этап 4.3

Умножим $- 2 \cdot 7 \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 2$ на $7$ .

$c = \sqrt{49 + 81 - 14 \cdot (9 \cos (60))}$

Этап 4.3.2

Умножим $- 14$ на $9$ .

$c = \sqrt{49 + 81 - 126 \cos (60)}$

Этап 4.4

Точное значение $\cos (60)$ : $\frac{1}{2}$ .

$c = \sqrt{49 + 81 - 126 (\frac{1}{2})}$

Этап 4.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 126$ .

$c = \sqrt{49 + 81 + 2 (- 63) (\frac{1}{2})}$

Этап 4.5.2

Сократим общий множитель.

$c = \sqrt{49 + 81 + 2 \cdot (- 63 (\frac{1}{2}))}$

Этап 4.5.3

Перепишем это выражение.

$c = \sqrt{49 + 81 - 63}$

Этап 4.6

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Добавим $49$ и $81$ .

$c = \sqrt{130 - 63}$

Этап 4.6.2

Вычтем $63$ из $130$ .

$c = \sqrt{67}$

Этап 5

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 6

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $A$ .

$\frac{\sin (A)}{7} = \frac{\sin (60)}{\sqrt{67}}$

Этап 7

Решим уравнение относительно $A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим обе части уравнения на $7$ .

$7 \frac{\sin (A)}{7} = 7 \frac{\sin (60)}{\sqrt{67}}$

Этап 7.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$7 \frac{\sin (A)}{7} = 7 \frac{\sin (60)}{\sqrt{67}}$

Этап 7.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (A) = 7 \frac{\sin (60)}{\sqrt{67}}$

Этап 7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим $7 \frac{\sin (60)}{\sqrt{67}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Точное значение $\sin (60)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (A) = 7 \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{67}}$

Этап 7.2.2.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sin (A) = 7 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{67}})$

Этап 7.2.2.1.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{67}}$ на $\frac{\sqrt{67}}{\sqrt{67}}$ .

$\sin (A) = 7 (\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{1}{\sqrt{67}} \cdot \frac{\sqrt{67}}{\sqrt{67}}))$

Этап 7.2.2.1.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{67}}$ на $\frac{\sqrt{67}}{\sqrt{67}}$ .

$\sin (A) = 7 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{67}}{\sqrt{67} \sqrt{67}})$

Этап 7.2.2.1.4.2

Возведем $\sqrt{67}$ в степень $1$ .

$\sin (A) = 7 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{67}}{{\sqrt{67}}^{1} \sqrt{67}})$

Этап 7.2.2.1.4.3

Возведем $\sqrt{67}$ в степень $1$ .

$\sin (A) = 7 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{67}}{{\sqrt{67}}^{1} {\sqrt{67}}^{1}})$

Этап 7.2.2.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (A) = 7 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{67}}{{\sqrt{67}}^{1 + 1}})$

Этап 7.2.2.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (A) = 7 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{67}}{{\sqrt{67}}^{2}})$

Этап 7.2.2.1.4.6

Перепишем ${\sqrt{67}}^{2}$ в виде $67$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{67}$ в виде $67^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (A) = 7 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{67}}{{(67^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 7.2.2.1.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (A) = 7 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{67}}{67^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 7.2.2.1.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (A) = 7 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{67}}{67^{\frac{2}{2}}})$

Этап 7.2.2.1.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (A) = 7 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{67}}{67^{\frac{2}{2}}})$

Этап 7.2.2.1.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (A) = 7 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{67}}{67^{1}})$

Этап 7.2.2.1.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\sin (A) = 7 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{67}}{67})$

Этап 7.2.2.1.5

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{67}}{67}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.5.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\frac{\sqrt{67}}{67}$ .

$\sin (A) = 7 \frac{\sqrt{3} \sqrt{67}}{2 \cdot 67}$

Этап 7.2.2.1.5.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\sin (A) = 7 \frac{\sqrt{3 \cdot 67}}{2 \cdot 67}$

Этап 7.2.2.1.5.3

Умножим $3$ на $67$ .

$\sin (A) = 7 \frac{\sqrt{201}}{2 \cdot 67}$

Этап 7.2.2.1.5.4

Умножим $2$ на $67$ .

$\sin (A) = 7 \frac{\sqrt{201}}{134}$

Этап 7.2.2.1.6

Объединим $7$ и $\frac{\sqrt{201}}{134}$ .

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{201}}{134}$

Этап 7.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $A$ из синуса.

$A = \arcsin (\frac{7 \sqrt{201}}{134})$

Этап 7.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{7 \sqrt{201}}{134})$ .

$A = 47.78365116$

Этап 7.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$A = 180 - 47.78365116$

Этап 7.6

Вычтем $47.78365116$ из $180$ .

$A = 132.21634883$

Этап 7.7

Решение уравнения $A = 47.78365116$ .

$A = 47.78365116, 132.21634883$

Этап 7.8

Исключим недопустимый угол.

$A = 47.78365116$

Этап 8

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$47.78365116 + 60 + B = 180$

Этап 9

Решим уравнение относительно $B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $47.78365116$ и $60$ .

$107.78365116 + B = 180$

Этап 9.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $107.78365116$ из обеих частей уравнения.

$B = 180 - 107.78365116$

Этап 9.2.2

Вычтем $107.78365116$ из $180$ .

$B = 72.21634883$

Этап 10

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

$A = 47.78365116$

$B = 72.21634883$

$C = 60$

$a = 7$

$b = 9$

$c = \sqrt{67}$