Тригонометрия Примеры

$a = 7$ , $b = 5$ , $A = 70$

Этап 1

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 2

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $B$ .

$\frac{\sin (B)}{5} = \frac{\sin (70)}{7}$

Этап 3

Решим уравнение относительно $B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $5$ .

$5 \frac{\sin (B)}{5} = 5 \frac{\sin (70)}{7}$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$5 \frac{\sin (B)}{5} = 5 \frac{\sin (70)}{7}$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (B) = 5 \frac{\sin (70)}{7}$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $5 \frac{\sin (70)}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Найдем значение $\sin (70)$ .

$\sin (B) = 5 (\frac{0.93969262}{7})$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $0.93969262$ на $7$ .

$\sin (B) = 5 \cdot 0.1342418$

Этап 3.2.2.1.3

Умножим $5$ на $0.1342418$ .

$\sin (B) = 0.67120901$

Этап 3.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $B$ из синуса.

$B = \arcsin (0.67120901)$

Этап 3.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Найдем значение $\arcsin (0.67120901)$ .

$B = 42.16044585$

Этап 3.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$B = 180 - 42.16044585$

Этап 3.6

Вычтем $42.16044585$ из $180$ .

$B = 137.83955414$

Этап 3.7

Решение уравнения $B = 42.16044585$ .

$B = 42.16044585, 137.83955414$

Этап 3.8

Исключим недопустимый угол.

$B = 42.16044585$

Этап 4

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$70 + C + 42.16044585 = 180$

Этап 5

Решим уравнение относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $70$ и $42.16044585$ .

$C + 112.16044585 = 180$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $112.16044585$ из обеих частей уравнения.

$C = 180 - 112.16044585$

Этап 5.2.2

Вычтем $112.16044585$ из $180$ .

$C = 67.83955414$

Этап 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 7

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $c$ .

$\frac{\sin (67.83955414)}{c} = \frac{\sin (70)}{7}$

Этап 8

Решим уравнение относительно $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Найдем значение $\sin (67.83955414)$ .

$\frac{0.9261312}{c} = \frac{\sin (70)}{7}$

Этап 8.1.2

Найдем значение $\sin (70)$ .

$\frac{0.9261312}{c} = \frac{0.93969262}{7}$

Этап 8.1.3

Разделим $0.93969262$ на $7$ .

$\frac{0.9261312}{c} = 0.1342418$

Этап 8.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$c, 1$

Этап 8.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$c$

Этап 8.3

Каждый член в $\frac{0.9261312}{c} = 0.1342418$ умножим на $c$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим каждый член $\frac{0.9261312}{c} = 0.1342418$ на $c$ .

$\frac{0.9261312}{c} c = 0.1342418 c$

Этап 8.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Сократим общий множитель $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.9261312}{c} c = 0.1342418 c$

Этап 8.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$0.9261312 = 0.1342418 c$

Этап 8.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Перепишем уравнение в виде $0.1342418 c = 0.9261312$ .

$0.1342418 c = 0.9261312$

Этап 8.4.2

Разделим каждый член $0.1342418 c = 0.9261312$ на $0.1342418$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Разделим каждый член $0.1342418 c = 0.9261312$ на $0.1342418$ .

$\frac{0.1342418 c}{0.1342418} = \frac{0.9261312}{0.1342418}$

Этап 8.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.2.1

Сократим общий множитель $0.1342418$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.1342418 c}{0.1342418} = \frac{0.9261312}{0.1342418}$

Этап 8.4.2.2.1.2

Разделим $c$ на $1$ .

$c = \frac{0.9261312}{0.1342418}$

Этап 8.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.3.1

Разделим $0.9261312$ на $0.1342418$ .

$c = 6.89897771$

Этап 9

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

$A = 70$

$B = 42.16044585$

$C = 67.83955414$

$a = 7$

$b = 5$

$c = 6.89897771$