Тригонометрия Примеры

$a = 63$ , $c = 73$ , $A = 36$

Этап 1

Теорема синусов дает неоднозначный результат. Это указывает на существование $2$ углов, при которых уравнение имеет корректное решение. Для первого треугольника используем первое возможное значение угла.

Найдем решение для первого треугольника.

Этап 2

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 3

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $C$ .

$\frac{\sin (C)}{73} = \frac{\sin (36)}{63}$

Этап 4

Решим уравнение относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим обе части уравнения на $73$ .

$73 \frac{\sin (C)}{73} = 73 \frac{\sin (36)}{63}$

Этап 4.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель $73$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$73 \frac{\sin (C)}{73} = 73 \frac{\sin (36)}{63}$

Этап 4.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (C) = 73 \frac{\sin (36)}{63}$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим $73 \frac{\sin (36)}{63}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Найдем значение $\sin (36)$ .

$\sin (C) = 73 (\frac{0.58778525}{63})$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $0.58778525$ на $63$ .

$\sin (C) = 73 \cdot 0.00932992$

Этап 4.2.2.1.3

Умножим $73$ на $0.00932992$ .

$\sin (C) = 0.68108449$

Этап 4.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $C$ из синуса.

$C = \arcsin (0.68108449)$

Этап 4.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Найдем значение $\arcsin (0.68108449)$ .

$C = 42.92844783$

Этап 4.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$C = 180 - 42.92844783$

Этап 4.6

Вычтем $42.92844783$ из $180$ .

$C = 137.07155216$

Этап 4.7

Решение уравнения $C = 42.92844783$ .

$C = 42.92844783, 137.07155216$

Этап 5

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$36 + 42.92844783 + B = 180$

Этап 6

Решим уравнение относительно $B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Добавим $36$ и $42.92844783$ .

$78.92844783 + B = 180$

Этап 6.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $78.92844783$ из обеих частей уравнения.

$B = 180 - 78.92844783$

Этап 6.2.2

Вычтем $78.92844783$ из $180$ .

$B = 101.07155216$

Этап 7

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 8

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $b$ .

$\frac{\sin (101.07155216)}{b} = \frac{\sin (36)}{63}$

Этап 9

Решим уравнение относительно $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Найдем значение $\sin (101.07155216)$ .

$\frac{0.98138813}{b} = \frac{\sin (36)}{63}$

Этап 9.1.2

Найдем значение $\sin (36)$ .

$\frac{0.98138813}{b} = \frac{0.58778525}{63}$

Этап 9.1.3

Разделим $0.58778525$ на $63$ .

$\frac{0.98138813}{b} = 0.00932992$

Этап 9.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$b, 1$

Этап 9.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$b$

Этап 9.3

Каждый член в $\frac{0.98138813}{b} = 0.00932992$ умножим на $b$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим каждый член $\frac{0.98138813}{b} = 0.00932992$ на $b$ .

$\frac{0.98138813}{b} b = 0.00932992 b$

Этап 9.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Сократим общий множитель $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.98138813}{b} b = 0.00932992 b$

Этап 9.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$0.98138813 = 0.00932992 b$

Этап 9.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Перепишем уравнение в виде $0.00932992 b = 0.98138813$ .

$0.00932992 b = 0.98138813$

Этап 9.4.2

Разделим каждый член $0.00932992 b = 0.98138813$ на $0.00932992$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.1

Разделим каждый член $0.00932992 b = 0.98138813$ на $0.00932992$ .

$\frac{0.00932992 b}{0.00932992} = \frac{0.98138813}{0.00932992}$

Этап 9.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.2.1

Сократим общий множитель $0.00932992$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.00932992 b}{0.00932992} = \frac{0.98138813}{0.00932992}$

Этап 9.4.2.2.1.2

Разделим $b$ на $1$ .

$b = \frac{0.98138813}{0.00932992}$

Этап 9.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.3.1

Разделим $0.98138813$ на $0.00932992$ .

$b = 105.18714455$

Этап 10

Для второго треугольника воспользуемся вторым возможным значением угла.

Найдем решение для второго треугольника.

Этап 11

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 12

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $C$ .

$\frac{\sin (C)}{73} = \frac{\sin (36)}{63}$

Этап 13

Решим уравнение относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим обе части уравнения на $73$ .

$73 \frac{\sin (C)}{73} = 73 \frac{\sin (36)}{63}$

Этап 13.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Сократим общий множитель $73$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$73 \frac{\sin (C)}{73} = 73 \frac{\sin (36)}{63}$

Этап 13.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (C) = 73 \frac{\sin (36)}{63}$

Этап 13.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1

Упростим $73 \frac{\sin (36)}{63}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1.1

Найдем значение $\sin (36)$ .

$\sin (C) = 73 (\frac{0.58778525}{63})$

Этап 13.2.2.1.2

Разделим $0.58778525$ на $63$ .

$\sin (C) = 73 \cdot 0.00932992$

Этап 13.2.2.1.3

Умножим $73$ на $0.00932992$ .

$\sin (C) = 0.68108449$

Этап 13.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $C$ из синуса.

$C = \arcsin (0.68108449)$

Этап 13.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Найдем значение $\arcsin (0.68108449)$ .

$C = 42.92844783$

Этап 13.5

$C = 180 - 42.92844783$

Этап 13.6

Вычтем $42.92844783$ из $180$ .

$C = 137.07155216$

Этап 13.7

Решение уравнения $C = 42.92844783$ .

$C = 42.92844783, 137.07155216$

Этап 14

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$36 + 137.07155216 + B = 180$

Этап 15

Решим уравнение относительно $B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Добавим $36$ и $137.07155216$ .

$173.07155216 + B = 180$

Этап 15.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Вычтем $173.07155216$ из обеих частей уравнения.

$B = 180 - 173.07155216$

Этап 15.2.2

Вычтем $173.07155216$ из $180$ .

$B = 6.92844783$

Этап 16

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 17

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $b$ .

$\frac{\sin (6.92844783)}{b} = \frac{\sin (36)}{63}$

Этап 18

Решим уравнение относительно $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.1

Найдем значение $\sin (6.92844783)$ .

$\frac{0.12062973}{b} = \frac{\sin (36)}{63}$

Этап 18.1.2

Найдем значение $\sin (36)$ .

$\frac{0.12062973}{b} = \frac{0.58778525}{63}$

Этап 18.1.3

Разделим $0.58778525$ на $63$ .

$\frac{0.12062973}{b} = 0.00932992$

Этап 18.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$b, 1$

Этап 18.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$b$

Этап 18.3

Каждый член в $\frac{0.12062973}{b} = 0.00932992$ умножим на $b$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.1

Умножим каждый член $\frac{0.12062973}{b} = 0.00932992$ на $b$ .

$\frac{0.12062973}{b} b = 0.00932992 b$

Этап 18.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.2.1

Сократим общий множитель $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.12062973}{b} b = 0.00932992 b$

Этап 18.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$0.12062973 = 0.00932992 b$

Этап 18.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.1

Перепишем уравнение в виде $0.00932992 b = 0.12062973$ .

$0.00932992 b = 0.12062973$

Этап 18.4.2

Разделим каждый член $0.00932992 b = 0.12062973$ на $0.00932992$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.2.1

Разделим каждый член $0.00932992 b = 0.12062973$ на $0.00932992$ .

$\frac{0.00932992 b}{0.00932992} = \frac{0.12062973}{0.00932992}$

Этап 18.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.2.2.1

Сократим общий множитель $0.00932992$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.00932992 b}{0.00932992} = \frac{0.12062973}{0.00932992}$

Этап 18.4.2.2.1.2

Разделим $b$ на $1$ .

$b = \frac{0.12062973}{0.00932992}$

Этап 18.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.2.3.1

Разделим $0.12062973$ на $0.00932992$ .

$b = 12.92933661$

Этап 19

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

Комбинация первого треугольника:

$A = 36$

$B = 101.07155216$

$C = 42.92844783$

$a = 63$

$b = 105.18714455$

$c = 73$

Комбинация второго треугольника:

$A = 36$

$B = 6.92844783$

$C = 137.07155216$

$a = 63$

$b = 12.92933661$

$c = 73$