Тригонометрия Примеры

$A = 60$ , $b = 6$ , $c = 9$

Этап 1

Используем теорему косинусов, чтобы найти неизвестную сторону треугольника по двум другим сторонам и прилежащему углу.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Этап 2

Решим уравнение.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Этап 3

Подставим известные значения в уравнение.

$a = \sqrt{{(6)}^{2} + {(9)}^{2} - 2 \cdot 6 \cdot 9 \cos (60)}$

Этап 4

Упростим результаты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$a = \sqrt{36 + {(9)}^{2} - 2 \cdot 6 \cdot (9 \cos (60))}$

Этап 4.2

Возведем $9$ в степень $2$ .

$a = \sqrt{36 + 81 - 2 \cdot 6 \cdot (9 \cos (60))}$

Этап 4.3

Умножим $- 2 \cdot 6 \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 2$ на $6$ .

$a = \sqrt{36 + 81 - 12 \cdot (9 \cos (60))}$

Этап 4.3.2

Умножим $- 12$ на $9$ .

$a = \sqrt{36 + 81 - 108 \cos (60)}$

Этап 4.4

Точное значение $\cos (60)$ : $\frac{1}{2}$ .

$a = \sqrt{36 + 81 - 108 (\frac{1}{2})}$

Этап 4.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 108$ .

$a = \sqrt{36 + 81 + 2 (- 54) (\frac{1}{2})}$

Этап 4.5.2

Сократим общий множитель.

$a = \sqrt{36 + 81 + 2 \cdot (- 54 (\frac{1}{2}))}$

Этап 4.5.3

Перепишем это выражение.

$a = \sqrt{36 + 81 - 54}$

Этап 4.6

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Добавим $36$ и $81$ .

$a = \sqrt{117 - 54}$

Этап 4.6.2

Вычтем $54$ из $117$ .

$a = \sqrt{63}$

Этап 4.7

Перепишем $63$ в виде $3^{2} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Вынесем множитель $9$ из $63$ .

$a = \sqrt{9 (7)}$

Этап 4.7.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$a = \sqrt{3^{2} \cdot 7}$

Этап 4.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$a = 3 \sqrt{7}$

Этап 5

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 6

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $B$ .

$\frac{\sin (B)}{6} = \frac{\sin (60)}{3 \sqrt{7}}$

Этап 7

Решим уравнение относительно $B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим обе части уравнения на $6$ .

$6 \frac{\sin (B)}{6} = 6 \frac{\sin (60)}{3 \sqrt{7}}$

Этап 7.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$6 \frac{\sin (B)}{6} = 6 \frac{\sin (60)}{3 \sqrt{7}}$

Этап 7.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (B) = 6 \frac{\sin (60)}{3 \sqrt{7}}$

Этап 7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим $6 \frac{\sin (60)}{3 \sqrt{7}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\sin (B) = 3 (2) \frac{\sin (60)}{3 \sqrt{7}}$

Этап 7.2.2.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 \sqrt{7}$ .

$\sin (B) = 3 (2) \frac{\sin (60)}{3 (\sqrt{7})}$

Этап 7.2.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$\sin (B) = 3 \cdot 2 \frac{\sin (60)}{3 \sqrt{7}}$

Этап 7.2.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$\sin (B) = 2 \frac{\sin (60)}{\sqrt{7}}$

Этап 7.2.2.1.2

Объединим $2$ и $\frac{\sin (60)}{\sqrt{7}}$ .

$\sin (B) = \frac{2 \sin (60)}{\sqrt{7}}$

Этап 7.2.2.1.3

Точное значение $\sin (60)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (B) = \frac{2 \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}$

Этап 7.2.2.1.4

Объединим $2$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (B) = \frac{\frac{2 \sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}$

Этап 7.2.2.1.5

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.5.1

Сократим выражение $\frac{2 \sqrt{3}}{2}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.5.1.1

Сократим общий множитель.

$\sin (B) = \frac{\frac{2 \sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}$

Этап 7.2.2.1.5.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (B) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{1}}{\sqrt{7}}$

Этап 7.2.2.1.5.2

Разделим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\sin (B) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

Этап 7.2.2.1.6

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ на $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\sin (B) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Этап 7.2.2.1.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.7.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ на $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\sin (B) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Этап 7.2.2.1.7.2

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$\sin (B) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Этап 7.2.2.1.7.3

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$\sin (B) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Этап 7.2.2.1.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (B) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Этап 7.2.2.1.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (B) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Этап 7.2.2.1.7.6

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (B) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 7.2.2.1.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (B) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 7.2.2.1.7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (B) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.2.2.1.7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (B) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.2.2.1.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (B) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7^{1}}$

Этап 7.2.2.1.7.6.5

Найдем экспоненту.

$\sin (B) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7}$

Этап 7.2.2.1.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.8.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\sin (B) = \frac{\sqrt{3 \cdot 7}}{7}$

Этап 7.2.2.1.8.2

Умножим $3$ на $7$ .

$\sin (B) = \frac{\sqrt{21}}{7}$

Этап 7.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $B$ из синуса.

$B = \arcsin (\frac{\sqrt{21}}{7})$

Этап 7.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{\sqrt{21}}{7})$ .

$B = 40.89339464$

Этап 7.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$B = 180 - 40.89339464$

Этап 7.6

Вычтем $40.89339464$ из $180$ .

$B = 139.10660535$

Этап 7.7

Решение уравнения $B = 40.89339464$ .

$B = 40.89339464, 139.10660535$

Этап 7.8

Исключим недопустимый угол.

$B = 40.89339464$

Этап 8

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$60 + C + 40.89339464 = 180$

Этап 9

Решим уравнение относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $60$ и $40.89339464$ .

$C + 100.89339464 = 180$

Этап 9.2

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $100.89339464$ из обеих частей уравнения.

$C = 180 - 100.89339464$

Этап 9.2.2

Вычтем $100.89339464$ из $180$ .

$C = 79.10660535$

Этап 10

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

$A = 60$

$B = 40.89339464$

$C = 79.10660535$

$a = 3 \sqrt{7}$

$b = 6$

$c = 9$