Тригонометрия Примеры

$a = 13$ , $b = 14$ , $A = 58$

Этап 1

Теорема синусов дает неоднозначный результат. Это указывает на существование $2$ углов, при которых уравнение имеет корректное решение. Для первого треугольника используем первое возможное значение угла.

Найдем решение для первого треугольника.

Этап 2

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 3

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $B$ .

$\frac{\sin (B)}{14} = \frac{\sin (58)}{13}$

Этап 4

Решим уравнение относительно $B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим обе части уравнения на $14$ .

$14 \frac{\sin (B)}{14} = 14 \frac{\sin (58)}{13}$

Этап 4.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель $14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$14 \frac{\sin (B)}{14} = 14 \frac{\sin (58)}{13}$

Этап 4.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (B) = 14 \frac{\sin (58)}{13}$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим $14 \frac{\sin (58)}{13}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Найдем значение $\sin (58)$ .

$\sin (B) = 14 (\frac{0.84804809}{13})$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $0.84804809$ на $13$ .

$\sin (B) = 14 \cdot 0.06523446$

Этап 4.2.2.1.3

Умножим $14$ на $0.06523446$ .

$\sin (B) = 0.91328256$

Этап 4.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $B$ из синуса.

$B = \arcsin (0.91328256)$

Этап 4.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Найдем значение $\arcsin (0.91328256)$ .

$B = 65.96299394$

Этап 4.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$B = 180 - 65.96299394$

Этап 4.6

Вычтем $65.96299394$ из $180$ .

$B = 114.03700605$

Этап 4.7

Решение уравнения $B = 65.96299394$ .

$B = 65.96299394, 114.03700605$

Этап 5

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$58 + C + 65.96299394 = 180$

Этап 6

Решим уравнение относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Добавим $58$ и $65.96299394$ .

$C + 123.96299394 = 180$

Этап 6.2

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $123.96299394$ из обеих частей уравнения.

$C = 180 - 123.96299394$

Этап 6.2.2

Вычтем $123.96299394$ из $180$ .

$C = 56.03700605$

Этап 7

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 8

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $c$ .

$\frac{\sin (56.03700605)}{c} = \frac{\sin (58)}{13}$

Этап 9

Решим уравнение относительно $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Найдем значение $\sin (56.03700605)$ .

$\frac{0.82939856}{c} = \frac{\sin (58)}{13}$

Этап 9.1.2

Найдем значение $\sin (58)$ .

$\frac{0.82939856}{c} = \frac{0.84804809}{13}$

Этап 9.1.3

Разделим $0.84804809$ на $13$ .

$\frac{0.82939856}{c} = 0.06523446$

Этап 9.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$c, 1$

Этап 9.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$c$

Этап 9.3

Каждый член в $\frac{0.82939856}{c} = 0.06523446$ умножим на $c$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим каждый член $\frac{0.82939856}{c} = 0.06523446$ на $c$ .

$\frac{0.82939856}{c} c = 0.06523446 c$

Этап 9.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Сократим общий множитель $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.82939856}{c} c = 0.06523446 c$

Этап 9.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$0.82939856 = 0.06523446 c$

Этап 9.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Перепишем уравнение в виде $0.06523446 c = 0.82939856$ .

$0.06523446 c = 0.82939856$

Этап 9.4.2

Разделим каждый член $0.06523446 c = 0.82939856$ на $0.06523446$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.1

Разделим каждый член $0.06523446 c = 0.82939856$ на $0.06523446$ .

$\frac{0.06523446 c}{0.06523446} = \frac{0.82939856}{0.06523446}$

Этап 9.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.2.1

Сократим общий множитель $0.06523446$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.06523446 c}{0.06523446} = \frac{0.82939856}{0.06523446}$

Этап 9.4.2.2.1.2

Разделим $c$ на $1$ .

$c = \frac{0.82939856}{0.06523446}$

Этап 9.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.3.1

Разделим $0.82939856$ на $0.06523446$ .

$c = 12.71411545$

Этап 10

Для второго треугольника воспользуемся вторым возможным значением угла.

Найдем решение для второго треугольника.

Этап 11

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 12

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $B$ .

$\frac{\sin (B)}{14} = \frac{\sin (58)}{13}$

Этап 13

Решим уравнение относительно $B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим обе части уравнения на $14$ .

$14 \frac{\sin (B)}{14} = 14 \frac{\sin (58)}{13}$

Этап 13.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Сократим общий множитель $14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$14 \frac{\sin (B)}{14} = 14 \frac{\sin (58)}{13}$

Этап 13.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (B) = 14 \frac{\sin (58)}{13}$

Этап 13.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1

Упростим $14 \frac{\sin (58)}{13}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1.1

Найдем значение $\sin (58)$ .

$\sin (B) = 14 (\frac{0.84804809}{13})$

Этап 13.2.2.1.2

Разделим $0.84804809$ на $13$ .

$\sin (B) = 14 \cdot 0.06523446$

Этап 13.2.2.1.3

Умножим $14$ на $0.06523446$ .

$\sin (B) = 0.91328256$

Этап 13.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $B$ из синуса.

$B = \arcsin (0.91328256)$

Этап 13.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Найдем значение $\arcsin (0.91328256)$ .

$B = 65.96299394$

Этап 13.5

$B = 180 - 65.96299394$

Этап 13.6

Вычтем $65.96299394$ из $180$ .

$B = 114.03700605$

Этап 13.7

Решение уравнения $B = 65.96299394$ .

$B = 65.96299394, 114.03700605$

Этап 14

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$58 + C + 114.03700605 = 180$

Этап 15

Решим уравнение относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Добавим $58$ и $114.03700605$ .

$C + 172.03700605 = 180$

Этап 15.2

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Вычтем $172.03700605$ из обеих частей уравнения.

$C = 180 - 172.03700605$

Этап 15.2.2

Вычтем $172.03700605$ из $180$ .

$C = 7.96299394$

Этап 16

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 17

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $c$ .

$\frac{\sin (7.96299394)}{c} = \frac{\sin (58)}{13}$

Этап 18

Решим уравнение относительно $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.1

Найдем значение $\sin (7.96299394)$ .

$\frac{0.13853348}{c} = \frac{\sin (58)}{13}$

Этап 18.1.2

Найдем значение $\sin (58)$ .

$\frac{0.13853348}{c} = \frac{0.84804809}{13}$

Этап 18.1.3

Разделим $0.84804809$ на $13$ .

$\frac{0.13853348}{c} = 0.06523446$

Этап 18.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$c, 1$

Этап 18.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$c$

Этап 18.3

Каждый член в $\frac{0.13853348}{c} = 0.06523446$ умножим на $c$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.1

Умножим каждый член $\frac{0.13853348}{c} = 0.06523446$ на $c$ .

$\frac{0.13853348}{c} c = 0.06523446 c$

Этап 18.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.2.1

Сократим общий множитель $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.13853348}{c} c = 0.06523446 c$

Этап 18.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$0.13853348 = 0.06523446 c$

Этап 18.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.1

Перепишем уравнение в виде $0.06523446 c = 0.13853348$ .

$0.06523446 c = 0.13853348$

Этап 18.4.2

Разделим каждый член $0.06523446 c = 0.13853348$ на $0.06523446$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.2.1

Разделим каждый член $0.06523446 c = 0.13853348$ на $0.06523446$ .

$\frac{0.06523446 c}{0.06523446} = \frac{0.13853348}{0.06523446}$

Этап 18.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.2.2.1

Сократим общий множитель $0.06523446$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.06523446 c}{0.06523446} = \frac{0.13853348}{0.06523446}$

Этап 18.4.2.2.1.2

Разделим $c$ на $1$ .

$c = \frac{0.13853348}{0.06523446}$

Этап 18.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.2.3.1

Разделим $0.13853348$ на $0.06523446$ .

$c = 2.12362394$

Этап 19

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

Комбинация первого треугольника:

$A = 58$

$B = 65.96299394$

$C = 56.03700605$

$a = 13$

$b = 14$

$c = 12.71411545$

Комбинация второго треугольника:

$A = 58$

$B = 114.03700605$

$C = 7.96299394$

$a = 13$

$b = 14$

$c = 2.12362394$