Тригонометрия Примеры

$A = 103$ , $b = 15$ , $c = 24$

Этап 1

Используем теорему косинусов, чтобы найти неизвестную сторону треугольника по двум другим сторонам и прилежащему углу.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Этап 2

Решим уравнение.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Этап 3

Подставим известные значения в уравнение.

$a = \sqrt{{(15)}^{2} + {(24)}^{2} - 2 \cdot 15 \cdot 24 \cos (103)}$

Этап 4

Упростим результаты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $15$ в степень $2$ .

$a = \sqrt{225 + {(24)}^{2} - 2 \cdot 15 \cdot (24 \cos (103))}$

Этап 4.2

Возведем $24$ в степень $2$ .

$a = \sqrt{225 + 576 - 2 \cdot 15 \cdot (24 \cos (103))}$

Этап 4.3

Умножим $- 2 \cdot 15 \cdot 24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 2$ на $15$ .

$a = \sqrt{225 + 576 - 30 \cdot (24 \cos (103))}$

Этап 4.3.2

Умножим $- 30$ на $24$ .

$a = \sqrt{225 + 576 - 720 \cos (103)}$

Этап 4.4

Найдем значение $\cos (103)$ .

$a = \sqrt{225 + 576 - 720 \cdot - 0.22495105}$

Этап 4.5

Умножим $- 720$ на $- 0.22495105$ .

$a = \sqrt{225 + 576 + 161.96475912}$

Этап 4.6

Добавим $225$ и $576$ .

$a = \sqrt{801 + 161.96475912}$

Этап 4.7

Добавим $801$ и $161.96475912$ .

$a = \sqrt{962.96475912}$

Этап 4.8

Найдем значение корня.

$a = 31.03167348$

Этап 5

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 6

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $B$ .

$\frac{\sin (B)}{15} = \frac{\sin (103)}{31.03167348}$

Этап 7

Решим уравнение относительно $B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим обе части уравнения на $15$ .

$15 \frac{\sin (B)}{15} = 15 \frac{\sin (103)}{31.03167348}$

Этап 7.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$15 \frac{\sin (B)}{15} = 15 \frac{\sin (103)}{31.03167348}$

Этап 7.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (B) = 15 \frac{\sin (103)}{31.03167348}$

Этап 7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим $15 \frac{\sin (103)}{31.03167348}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Найдем значение $\sin (103)$ .

$\sin (B) = 15 (\frac{0.97437006}{31.03167348})$

Этап 7.2.2.1.2

Разделим $0.97437006$ на $31.03167348$ .

$\sin (B) = 15 \cdot 0.03139921$

Этап 7.2.2.1.3

Умножим $15$ на $0.03139921$ .

$\sin (B) = 0.47098816$

Этап 7.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $B$ из синуса.

$B = \arcsin (0.47098816)$

Этап 7.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Найдем значение $\arcsin (0.47098816)$ .

$B = 28.09845964$

Этап 7.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$B = 180 - 28.09845964$

Этап 7.6

Вычтем $28.09845964$ из $180$ .

$B = 151.90154035$

Этап 7.7

Решение уравнения $B = 28.09845964$ .

$B = 28.09845964, 151.90154035$

Этап 7.8

Исключим недопустимый угол.

$B = 28.09845964$

Этап 8

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$103 + C + 28.09845964 = 180$

Этап 9

Решим уравнение относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $103$ и $28.09845964$ .

$C + 131.09845964 = 180$

Этап 9.2

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $131.09845964$ из обеих частей уравнения.

$C = 180 - 131.09845964$

Этап 9.2.2

Вычтем $131.09845964$ из $180$ .

$C = 48.90154035$

Этап 10

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

$A = 103$

$B = 28.09845964$

$C = 48.90154035$

$a = 31.03167348$

$b = 15$

$c = 24$