Тригонометрия Примеры

$a = 2$ , $b = 5$ , $C = 30$

Этап 1

Используем теорему косинусов, чтобы найти неизвестную сторону треугольника по двум другим сторонам и прилежащему углу.

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

Этап 2

Решим уравнение.

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

Этап 3

Подставим известные значения в уравнение.

$c = \sqrt{{(2)}^{2} + {(5)}^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 5 \cos (30)}$

Этап 4

Упростим результаты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$c = \sqrt{4 + {(5)}^{2} - 2 \cdot 2 \cdot (5 \cos (30))}$

Этап 4.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$c = \sqrt{4 + 25 - 2 \cdot 2 \cdot (5 \cos (30))}$

Этап 4.3

Умножим $- 2 \cdot 2 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$c = \sqrt{4 + 25 - 4 \cdot (5 \cos (30))}$

Этап 4.3.2

Умножим $- 4$ на $5$ .

$c = \sqrt{4 + 25 - 20 \cos (30)}$

Этап 4.4

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$c = \sqrt{4 + 25 - 20 \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Этап 4.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 20$ .

$c = \sqrt{4 + 25 + 2 (- 10) (\frac{\sqrt{3}}{2})}$

Этап 4.5.2

Сократим общий множитель.

$c = \sqrt{4 + 25 + 2 \cdot (- 10 \frac{\sqrt{3}}{2})}$

Этап 4.5.3

Перепишем это выражение.

$c = \sqrt{4 + 25 - 10 \sqrt{3}}$

Этап 4.6

Добавим $4$ и $25$ .

$c = \sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}$

Этап 5

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 6

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $A$ .

$\frac{\sin (A)}{2} = \frac{\sin (30)}{\sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}}$

Этап 7

Решим уравнение относительно $A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{\sin (A)}{2} = 2 \frac{\sin (30)}{\sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}}$

Этап 7.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\sin (A)}{2} = 2 \frac{\sin (30)}{\sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}}$

Этап 7.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (A) = 2 \frac{\sin (30)}{\sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}}$

Этап 7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим $2 \frac{\sin (30)}{\sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\sin (A) = 2 \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}}$

Этап 7.2.2.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sin (A) = 2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}})$

Этап 7.2.2.1.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{\sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}}$ .

$\sin (A) = 2 \frac{1}{2 \sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}}$

Этап 7.2.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}$ .

$\sin (A) = 2 \frac{1}{2 (\sqrt{29 - 10 \sqrt{3}})}$

Этап 7.2.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$\sin (A) = 2 \frac{1}{2 \sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}}$

Этап 7.2.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$\sin (A) = \frac{1}{\sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}}$

Этап 7.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $A$ из синуса.

$A = \arcsin (\frac{1}{\sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}})$

Этап 7.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{1}{\sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}})$ .

$A = 17.01423169$

Этап 7.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$A = 180 - 17.01423169$

Этап 7.6

Вычтем $17.01423169$ из $180$ .

$A = 162.9857683$

Этап 7.7

Решение уравнения $A = 17.01423169$ .

$A = 17.01423169, 162.9857683$

Этап 7.8

Исключим недопустимый угол.

$A = 17.01423169$

Этап 8

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$17.01423169 + 30 + B = 180$

Этап 9

Решим уравнение относительно $B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $17.01423169$ и $30$ .

$47.01423169 + B = 180$

Этап 9.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $47.01423169$ из обеих частей уравнения.

$B = 180 - 47.01423169$

Этап 9.2.2

Вычтем $47.01423169$ из $180$ .

$B = 132.9857683$

Этап 10

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

$A = 17.01423169$

$B = 132.9857683$

$C = 30$

$a = 2$

$b = 5$

$c = \sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}$