Тригонометрия Примеры

$A = 15$ , $B = 155$ , $c = 500$

Этап 1

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$15 + C + 155 = 180$

Этап 2

Решим уравнение относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $15$ и $155$ .

$C + 170 = 180$

Этап 2.2

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $170$ из обеих частей уравнения.

$C = 180 - 170$

Этап 2.2.2

Вычтем $170$ из $180$ .

$C = 10$

Этап 3

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 4

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $a$ .

$\frac{\sin (15)}{a} = \frac{\sin (10)}{500}$

Этап 5

Решим уравнение относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Точное значение $\sin (15)$ : $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Разделим $15$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\frac{\sin (45 - 30)}{a} = \frac{\sin (10)}{500}$

Этап 5.1.1.2

Выделим отрицательную часть.

$\frac{\sin (45 - (30))}{a} = \frac{\sin (10)}{500}$

Этап 5.1.1.3

Применим формулу для разности углов.

$\frac{\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{a} = \frac{\sin (10)}{500}$

Этап 5.1.1.4

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{a} = \frac{\sin (10)}{500}$

Этап 5.1.1.5

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)}{a} = \frac{\sin (10)}{500}$

Этап 5.1.1.6

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)}{a} = \frac{\sin (10)}{500}$

Этап 5.1.1.7

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (10)}{500}$

Этап 5.1.1.8

Упростим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.8.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.8.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (10)}{500}$

Этап 5.1.1.8.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (10)}{500}$

Этап 5.1.1.8.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (10)}{500}$

Этап 5.1.1.8.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (10)}{500}$

Этап 5.1.1.8.1.2

Умножим $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.8.1.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{a} = \frac{\sin (10)}{500}$

Этап 5.1.1.8.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{a} = \frac{\sin (10)}{500}$

Этап 5.1.1.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{a} = \frac{\sin (10)}{500}$

Этап 5.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{a} = \frac{\sin (10)}{500}$

Этап 5.1.3

Умножим $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ на $\frac{1}{a}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sin (10)}{500}$

Этап 5.1.4

Найдем значение $\sin (10)$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{0.17364817}{500}$

Этап 5.1.5

Разделим $0.17364817$ на $500$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = 0.00034729$

Этап 5.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$4 a, 1$

Этап 5.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$4 a$

Этап 5.3

Каждый член в $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = 0.00034729$ умножим на $4 a$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим каждый член $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = 0.00034729$ на $4 a$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} (4 a) = 0.00034729 (4 a)$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} a = 0.00034729 (4 a)$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 a$ .

$4 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 (a)} a = 0.00034729 (4 a)$

Этап 5.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$4 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} a = 0.00034729 (4 a)$

Этап 5.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{a} a = 0.00034729 (4 a)$

Этап 5.3.2.3

Сократим общий множитель $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{a} a = 0.00034729 (4 a)$

Этап 5.3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{6} - \sqrt{2} = 0.00034729 (4 a)$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим $4$ на $0.00034729$ .

$\sqrt{6} - \sqrt{2} = 0.00138918 a$

Этап 5.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перепишем уравнение в виде $0.00138918 a = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ .

$0.00138918 a = \sqrt{6} - \sqrt{2}$

Этап 5.4.2

Разделим каждый член $0.00138918 a = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ на $0.00138918$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Разделим каждый член $0.00138918 a = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ на $0.00138918$ .

$\frac{0.00138918 a}{0.00138918} = \frac{\sqrt{6}}{0.00138918} + \frac{- \sqrt{2}}{0.00138918}$

Этап 5.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель $0.00138918$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.00138918 a}{0.00138918} = \frac{\sqrt{6}}{0.00138918} + \frac{- \sqrt{2}}{0.00138918}$

Этап 5.4.2.2.1.2

Разделим $a$ на $1$ .

$a = \frac{\sqrt{6}}{0.00138918} + \frac{- \sqrt{2}}{0.00138918}$

Этап 5.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.1.1

Найдем значение корня.

$a = \frac{2.44948974}{0.00138918} + \frac{- \sqrt{2}}{0.00138918}$

Этап 5.4.2.3.1.2

Разделим $2.44948974$ на $0.00138918$ .

$a = 1763.25615368 + \frac{- \sqrt{2}}{0.00138918}$

Этап 5.4.2.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$a = 1763.25615368 - \frac{\sqrt{2}}{0.00138918}$

Этап 5.4.2.3.1.4

Найдем значение корня.

$a = 1763.25615368 - \frac{1.41421356}{0.00138918}$

Этап 5.4.2.3.1.5

Разделим $1.41421356$ на $0.00138918$ .

$a = 1763.25615368 - 1 \cdot 1018.01641498$

Этап 5.4.2.3.1.6

Умножим $- 1$ на $1018.01641498$ .

$a = 1763.25615368 - 1018.01641498$

Этап 5.4.2.3.2

Вычтем $1018.01641498$ из $1763.25615368$ .

$a = 745.2397387$

Этап 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 7

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $b$ .

$\frac{\sin (155)}{b} = \frac{\sin (15)}{745.2397387}$

Этап 8

Решим уравнение относительно $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Найдем значение $\sin (155)$ .

$\frac{0.42261826}{b} = \frac{\sin (15)}{745.2397387}$

Этап 8.1.2

Точное значение $\sin (15)$ : $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Разделим $15$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\frac{0.42261826}{b} = \frac{\sin (45 - 30)}{745.2397387}$

Этап 8.1.2.2

Выделим отрицательную часть.

$\frac{0.42261826}{b} = \frac{\sin (45 - (30))}{745.2397387}$

Этап 8.1.2.3

Применим формулу для разности углов.

$\frac{0.42261826}{b} = \frac{\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{745.2397387}$

Этап 8.1.2.4

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.42261826}{b} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{745.2397387}$

Этап 8.1.2.5

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.42261826}{b} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)}{745.2397387}$

Этап 8.1.2.6

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.42261826}{b} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)}{745.2397387}$

Этап 8.1.2.7

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.42261826}{b} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{745.2397387}$

Этап 8.1.2.8

Упростим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.8.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.8.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.42261826}{b} = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{745.2397387}$

Этап 8.1.2.8.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{0.42261826}{b} = \frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{745.2397387}$

Этап 8.1.2.8.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{0.42261826}{b} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{745.2397387}$

Этап 8.1.2.8.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{0.42261826}{b} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{745.2397387}$

Этап 8.1.2.8.1.2

Умножим $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.8.1.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.42261826}{b} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{745.2397387}$

Этап 8.1.2.8.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{0.42261826}{b} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{745.2397387}$

Этап 8.1.2.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{0.42261826}{b} = \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{745.2397387}$

Этап 8.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{0.42261826}{b} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{745.2397387}$

Этап 8.1.4

Разделим $1$ на $745.2397387$ .

$\frac{0.42261826}{b} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot 0.00134185$

Этап 8.1.5

Умножим $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot 0.00134185$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.5.1

Объединим $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ и $0.00134185$ .

$\frac{0.42261826}{b} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 0.00134185}{4}$

Этап 8.1.5.2

Умножим $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ на $0.00134185$ .

$\frac{0.42261826}{b} = \frac{0.00138918}{4}$

Этап 8.1.6

Разделим $0.00138918$ на $4$ .

$\frac{0.42261826}{b} = 0.00034729$

Этап 8.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$b, 1$

Этап 8.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$b$

Этап 8.3

Каждый член в $\frac{0.42261826}{b} = 0.00034729$ умножим на $b$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим каждый член $\frac{0.42261826}{b} = 0.00034729$ на $b$ .

$\frac{0.42261826}{b} b = 0.00034729 b$

Этап 8.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Сократим общий множитель $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.42261826}{b} b = 0.00034729 b$

Этап 8.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$0.42261826 = 0.00034729 b$

Этап 8.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Перепишем уравнение в виде $0.00034729 b = 0.42261826$ .

$0.00034729 b = 0.42261826$

Этап 8.4.2

Разделим каждый член $0.00034729 b = 0.42261826$ на $0.00034729$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Разделим каждый член $0.00034729 b = 0.42261826$ на $0.00034729$ .

$\frac{0.00034729 b}{0.00034729} = \frac{0.42261826}{0.00034729}$

Этап 8.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.2.1

Сократим общий множитель $0.00034729$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.00034729 b}{0.00034729} = \frac{0.42261826}{0.00034729}$

Этап 8.4.2.2.1.2

Разделим $b$ на $1$ .

$b = \frac{0.42261826}{0.00034729}$

Этап 8.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.3.1

Разделим $0.42261826$ на $0.00034729$ .

$b = 1216.88078567$

Этап 9

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

$A = 15$

$B = 155$

$C = 10$

$a = 745.2397387$

$b = 1216.88078567$

$c = 500$