Тригонометрия Примеры

$(- 5, - \frac{3 π}{4})$

Этап 1

Чтобы найти $\cos (θ)$ угла между осью x и прямой, соединяющей точки $(0, 0)$ и $(- 5, - \frac{3 π}{4})$ , нарисуем треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$ , $(- 5, 0)$ и $(- 5, - \frac{3 π}{4})$ .

Противоположное: $- \frac{3 π}{4}$

Смежный: $- 5$

Этап 2

Найдем гипотенузу, используя теорему Пифагора $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$\sqrt{25 + {(- \frac{3 π}{4})}^{2}}$

Этап 2.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило умножения к $- \frac{3 π}{4}$ .

$\sqrt{25 + {(- 1)}^{2} {(\frac{3 π}{4})}^{2}}$

Этап 2.2.2

Применим правило умножения к $\frac{3 π}{4}$ .

$\sqrt{25 + {(- 1)}^{2} \frac{{(3 π)}^{2}}{4^{2}}}$

Этап 2.2.3

Применим правило умножения к $3 π$ .

$\sqrt{25 + {(- 1)}^{2} \frac{3^{2} π^{2}}{4^{2}}}$

Этап 2.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\sqrt{25 + 1 \frac{3^{2} π^{2}}{4^{2}}}$

Этап 2.4

Умножим $\frac{3^{2} π^{2}}{4^{2}}$ на $1$ .

$\sqrt{25 + \frac{3^{2} π^{2}}{4^{2}}}$

Этап 2.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{25 + \frac{9 π^{2}}{4^{2}}}$

Этап 2.6

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\sqrt{25 + \frac{9 π^{2}}{16}}$

Этап 2.7

Чтобы записать $25$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{25 \cdot \frac{16}{16} + \frac{9 π^{2}}{16}}$

Этап 2.8

Объединим $25$ и $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{25 \cdot 16}{16} + \frac{9 π^{2}}{16}}$

Этап 2.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{25 \cdot 16 + 9 π^{2}}{16}}$

Этап 2.9.2

Умножим $25$ на $16$ .

$\sqrt{\frac{400 + 9 π^{2}}{16}}$

Этап 2.10

Перепишем $\sqrt{\frac{400 + 9 π^{2}}{16}}$ в виде $\frac{\sqrt{400 + 9 π^{2}}}{\sqrt{16}}$ .

$\frac{\sqrt{400 + 9 π^{2}}}{\sqrt{16}}$

Этап 2.11

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{400 + 9 π^{2}}}{\sqrt{4^{2}}}$

Этап 2.11.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\sqrt{400 + 9 π^{2}}}{4}$

Этап 3

$\cos (θ) = \frac{Смежные}{Гипотенуза}$ , следовательно $\cos (θ) = \frac{- 5}{\frac{\sqrt{400 + 9 π^{2}}}{4}}$ .

$\frac{- 5}{\frac{\sqrt{400 + 9 π^{2}}}{4}}$

Этап 4

Упростим $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\cos (θ) = - 5 \frac{4}{\sqrt{400 + 9 π^{2}}}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{4}{\sqrt{400 + 9 π^{2}}}$ на $\frac{\sqrt{400 + 9 π^{2}}}{\sqrt{400 + 9 π^{2}}}$ .

$\cos (θ) = - 5 (\frac{4}{\sqrt{400 + 9 π^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{400 + 9 π^{2}}}{\sqrt{400 + 9 π^{2}}})$

Этап 4.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $\frac{4}{\sqrt{400 + 9 π^{2}}}$ на $\frac{\sqrt{400 + 9 π^{2}}}{\sqrt{400 + 9 π^{2}}}$ .

$\cos (θ) = - 5 \frac{4 \sqrt{400 + 9 π^{2}}}{\sqrt{400 + 9 π^{2}} \sqrt{400 + 9 π^{2}}}$

Этап 4.3.2

Возведем $\sqrt{400 + 9 π^{2}}$ в степень $1$ .

$\cos (θ) = - 5 \frac{4 \sqrt{400 + 9 π^{2}}}{\sqrt{400 + 9 π^{2}} \sqrt{400 + 9 π^{2}}}$

Этап 4.3.3

Возведем $\sqrt{400 + 9 π^{2}}$ в степень $1$ .

$\cos (θ) = - 5 \frac{4 \sqrt{400 + 9 π^{2}}}{\sqrt{400 + 9 π^{2}} \sqrt{400 + 9 π^{2}}}$

Этап 4.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (θ) = - 5 \frac{4 \sqrt{400 + 9 π^{2}}}{{\sqrt{400 + 9 π^{2}}}^{1 + 1}}$

Этап 4.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos (θ) = - 5 \frac{4 \sqrt{400 + 9 π^{2}}}{{\sqrt{400 + 9 π^{2}}}^{2}}$

Этап 4.3.6

Перепишем ${\sqrt{400 + 9 π^{2}}}^{2}$ в виде $400 + 9 π^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{400 + 9 π^{2}}$ в виде ${(400 + 9 π^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = - 5 \frac{4 \sqrt{400 + 9 π^{2}}}{{({(400 + 9 π^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - 5 \frac{4 \sqrt{400 + 9 π^{2}}}{{(400 + 9 π^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\cos (θ) = - 5 \frac{4 \sqrt{400 + 9 π^{2}}}{{(400 + 9 π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\cos (θ) = - 5 \frac{4 \sqrt{400 + 9 π^{2}}}{{(400 + 9 π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\cos (θ) = - 5 \frac{4 \sqrt{400 + 9 π^{2}}}{400 + 9 π^{2}}$

Этап 4.3.6.5

Упростим.

$\cos (θ) = - 5 \frac{4 \sqrt{400 + 9 π^{2}}}{400 + 9 π^{2}}$

Этап 4.4

Умножим $- 5 \frac{4 \sqrt{400 + 9 π^{2}}}{400 + 9 π^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Объединим $- 5$ и $\frac{4 \sqrt{400 + 9 π^{2}}}{400 + 9 π^{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{- 5 (4 \sqrt{400 + 9 π^{2}})}{400 + 9 π^{2}}$

Этап 4.4.2

Умножим $4$ на $- 5$ .

$\cos (θ) = \frac{- 20 \sqrt{400 + 9 π^{2}}}{400 + 9 π^{2}}$

Этап 4.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (θ) = - \frac{20 \sqrt{400 + 9 π^{2}}}{400 + 9 π^{2}}$

Этап 5

Аппроксимируем результат.

$\cos (θ) = - \frac{20 \sqrt{400 + 9 π^{2}}}{400 + 9 π^{2}} \approx - 0.90459181$