Тригонометрия Примеры

$(2, 7)$ , $(3, 1)$

Этап 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Этап 2

Find the dot product.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot 3 + 7 \cdot 1$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $2$ на $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 6 + 7 \cdot 1$

Этап 2.2.1.2

Умножим $7$ на $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 6 + 7$

Этап 2.2.2

Добавим $6$ и $7$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 13$

Этап 3

Найдем абсолютную величину $a⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} + 7^{2}}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 7^{2}}$

Этап 3.2.2

Возведем $7$ в степень $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 49}$

Этап 3.2.3

Добавим $4$ и $49$ .

$| a⃗ | = \sqrt{53}$

Этап 4

Найдем абсолютную величину $b⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} + 1^{2}}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 1^{2}}$

Этап 4.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 1}$

Этап 4.2.3

Добавим $9$ и $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{10}$

Этап 5

Подставим значения в формулу.

$θ = \arccos (\frac{13}{\sqrt{53} \sqrt{10}})$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$θ = \arccos (\frac{13}{\sqrt{53 \cdot 10}})$

Этап 6.1.2

Умножим $53$ на $10$ .

$θ = \arccos (\frac{13}{\sqrt{530}})$

Этап 6.2

Умножим $\frac{13}{\sqrt{530}}$ на $\frac{\sqrt{530}}{\sqrt{530}}$ .

$θ = \arccos (\frac{13}{\sqrt{530}} \cdot \frac{\sqrt{530}}{\sqrt{530}})$

Этап 6.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $\frac{13}{\sqrt{530}}$ на $\frac{\sqrt{530}}{\sqrt{530}}$ .

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{530}}{\sqrt{530} \sqrt{530}})$

Этап 6.3.2

Возведем $\sqrt{530}$ в степень $1$ .

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{530}}{{\sqrt{530}}^{1} \sqrt{530}})$

Этап 6.3.3

Возведем $\sqrt{530}$ в степень $1$ .

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{530}}{{\sqrt{530}}^{1} {\sqrt{530}}^{1}})$

Этап 6.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{530}}{{\sqrt{530}}^{1 + 1}})$

Этап 6.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{530}}{{\sqrt{530}}^{2}})$

Этап 6.3.6

Перепишем ${\sqrt{530}}^{2}$ в виде $530$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{530}$ в виде $530^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{530}}{{(530^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 6.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{530}}{530^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 6.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{530}}{530^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{530}}{530^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{530}}{530^{1}})$

Этап 6.3.6.5

Найдем экспоненту.

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{530}}{530})$

Этап 6.4

Найдем значение $\arccos (\frac{13 \sqrt{530}}{530})$ .

$θ = 55.61965527$