Тригонометрия Примеры

$(1, 2)$ , $(4, 2)$

Этап 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Этап 2

Find the dot product.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 2$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $4$ на $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 4 + 2 \cdot 2$

Этап 2.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 4 + 4$

Этап 2.2.2

Добавим $4$ и $4$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 8$

Этап 3

Найдем абсолютную величину $a⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + 2^{2}}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 2^{2}}$

Этап 3.2.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 4}$

Этап 3.2.3

Добавим $1$ и $4$ .

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

Этап 4

Найдем абсолютную величину $b⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{4^{2} + 2^{2}}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 2^{2}}$

Этап 4.2.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4}$

Этап 4.2.3

Добавим $16$ и $4$ .

$| b⃗ | = \sqrt{20}$

Этап 4.2.4

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 (5)}$

Этап 4.2.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Этап 4.2.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$| b⃗ | = 2 \sqrt{5}$

Этап 5

Подставим значения в формулу.

$θ = \arccos (\frac{8}{\sqrt{5} (2 \sqrt{5})})$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 4}{\sqrt{5} (2 \sqrt{5})})$

Этап 6.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $\sqrt{5} (2 \sqrt{5})$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 4}{2 (\sqrt{5} (\sqrt{5}))})$

Этап 6.1.2.2

Сократим общий множитель.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 4}{2 (\sqrt{5} (\sqrt{5}))})$

Этап 6.1.2.3

Перепишем это выражение.

$θ = \arccos (\frac{4}{\sqrt{5} (\sqrt{5})})$

Этап 6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$θ = \arccos (\frac{4}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

Этап 6.2.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$θ = \arccos (\frac{4}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

Этап 6.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$θ = \arccos (\frac{4}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Этап 6.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$θ = \arccos (\frac{4}{{\sqrt{5}}^{2}})$

Этап 6.3

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{4}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 6.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{4}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 6.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$θ = \arccos (\frac{4}{5^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1

Сократим общий множитель.

$θ = \arccos (\frac{4}{5^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.3.4.2

Перепишем это выражение.

$θ = \arccos (\frac{4}{5^{1}})$

Этап 6.3.5

Найдем экспоненту.

$θ = \arccos (\frac{4}{5})$

Этап 6.4

Найдем значение $\arccos (\frac{4}{5})$ .

$θ = 36.86989764$