Тригонометрия Примеры

$(3, 1)$ , $(- 2, - 6)$

Этап 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Этап 2

Find the dot product.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 3 \cdot - 2 + 1 \cdot - 6$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $3$ на $- 2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 6 + 1 \cdot - 6$

Этап 2.2.1.2

Умножим $- 6$ на $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 6 - 6$

Этап 2.2.2

Вычтем $6$ из $- 6$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 12$

Этап 3

Найдем абсолютную величину $a⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{3^{2} + 1^{2}}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 1^{2}}$

Этап 3.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 1}$

Этап 3.2.3

Добавим $9$ и $1$ .

$| a⃗ | = \sqrt{10}$

Этап 4

Найдем абсолютную величину $b⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 6)}^{2}}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + {(- 6)}^{2}}$

Этап 4.2.2

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 36}$

Этап 4.2.3

Добавим $4$ и $36$ .

$| b⃗ | = \sqrt{40}$

Этап 4.2.4

Перепишем $40$ в виде $2^{2} \cdot 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Вынесем множитель $4$ из $40$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 (10)}$

Этап 4.2.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 10}$

Этап 4.2.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$| b⃗ | = 2 \sqrt{10}$

Этап 5

Подставим значения в формулу.

$θ = \arccos (\frac{- 12}{\sqrt{10} (2 \sqrt{10})})$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель $- 12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 12$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 6}{\sqrt{10} (2 \sqrt{10})})$

Этап 6.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $\sqrt{10} (2 \sqrt{10})$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 6}{2 (\sqrt{10} (\sqrt{10}))})$

Этап 6.1.2.2

Сократим общий множитель.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 6}{2 (\sqrt{10} (\sqrt{10}))})$

Этап 6.1.2.3

Перепишем это выражение.

$θ = \arccos (\frac{- 6}{\sqrt{10} (\sqrt{10})})$

Этап 6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возведем $\sqrt{10}$ в степень $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 6}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}})$

Этап 6.2.2

Возведем $\sqrt{10}$ в степень $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 6}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}})$

Этап 6.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$θ = \arccos (\frac{- 6}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}})$

Этап 6.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 6}{{\sqrt{10}}^{2}})$

Этап 6.3

Перепишем ${\sqrt{10}}^{2}$ в виде $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{10}$ в виде $10^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 6}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 6.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 6}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 6.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$θ = \arccos (\frac{- 6}{10^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1

Сократим общий множитель.

$θ = \arccos (\frac{- 6}{10^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.3.4.2

Перепишем это выражение.

$θ = \arccos (\frac{- 6}{10^{1}})$

Этап 6.3.5

Найдем экспоненту.

$θ = \arccos (\frac{- 6}{10})$

Этап 6.4

Сократим общий множитель $- 6$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$θ = \arccos (\frac{2 (- 3)}{10})$

Этап 6.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 5})$

Этап 6.4.2.2

Сократим общий множитель.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 5})$

Этап 6.4.2.3

Перепишем это выражение.

$θ = \arccos (\frac{- 3}{5})$

Этап 6.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$θ = \arccos (- \frac{3}{5})$

Этап 6.6

Найдем значение $\arccos (- \frac{3}{5})$ .

$θ = 126.86989764$