Тригонометрия Примеры

$(- 2, 0)$ , $(1, 7)$

Этап 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Этап 2

Find the dot product.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 \cdot 1 + 0 \cdot 7$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 0 \cdot 7$

Этап 2.2.1.2

Умножим $0$ на $7$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 0$

Этап 2.2.2

Добавим $- 2$ и $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2$

Этап 3

Найдем абсолютную величину $a⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 0^{2}}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0^{2}}$

Этап 3.2.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0}$

Этап 3.2.3

Добавим $4$ и $0$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4}$

Этап 3.2.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2}}$

Этап 3.2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| a⃗ | = 2$

Этап 4

Найдем абсолютную величину $b⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{1^{2} + 7^{2}}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 7^{2}}$

Этап 4.2.2

Возведем $7$ в степень $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 49}$

Этап 4.2.3

Добавим $1$ и $49$ .

$| b⃗ | = \sqrt{50}$

Этап 4.2.4

Перепишем $50$ в виде $5^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Вынесем множитель $25$ из $50$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 (2)}$

Этап 4.2.4.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2} \cdot 2}$

Этап 4.2.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$| b⃗ | = 5 \sqrt{2}$

Этап 5

Подставим значения в формулу.

$θ = \arccos (\frac{- 2}{2 (5 \sqrt{2})})$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 (5 \sqrt{2})})$

Этап 6.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Сократим общий множитель.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 (5 \sqrt{2})})$

Этап 6.1.2.2

Перепишем это выражение.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{5 \sqrt{2}})$

Этап 6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$θ = \arccos (- \frac{1}{5 \sqrt{2}})$

Этап 6.3

Умножим $\frac{1}{5 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{1}{5 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))$

Этап 6.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим $\frac{1}{5 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \sqrt{2} \sqrt{2}})$

Этап 6.4.2

Перенесем $\sqrt{2}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 (\sqrt{2} \sqrt{2})})$

Этап 6.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})})$

Этап 6.4.4

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})})$

Этап 6.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 {\sqrt{2}}^{1 + 1}})$

Этап 6.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 {\sqrt{2}}^{2}})$

Этап 6.4.7

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 6.4.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 6.4.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.4.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.7.4.1

Сократим общий множитель.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.4.7.4.2

Перепишем это выражение.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2^{1}})$

Этап 6.4.7.5

Найдем экспоненту.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2})$

Этап 6.5

Умножим $5$ на $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{10})$

Этап 6.6

Найдем значение $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{10})$ .

$θ = 98.13010235$