Тригонометрия Примеры

$(1, \frac{5}{3})$ , $(1, - 8)$

Этап 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Этап 2

Find the dot product.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot 1 + \frac{5}{3} \cdot - 8$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{5}{3} \cdot - 8$

Этап 2.2.1.2

Умножим $\frac{5}{3} \cdot - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Объединим $\frac{5}{3}$ и $- 8$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{5 \cdot - 8}{3}$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $5$ на $- 8$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{- 40}{3}$

Этап 2.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 - \frac{40}{3}$

Этап 2.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{3}{3} - \frac{40}{3}$

Этап 2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{3 - 40}{3}$

Этап 2.2.4

Вычтем $40$ из $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{- 37}{3}$

Этап 2.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$a⃗ \cdot b⃗ = - \frac{37}{3}$

Этап 3

Найдем абсолютную величину $a⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(\frac{5}{3})}^{2}}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {(\frac{5}{3})}^{2}}$

Этап 3.2.2

Применим правило умножения к $\frac{5}{3}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{5^{2}}{3^{2}}}$

Этап 3.2.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{25}{3^{2}}}$

Этап 3.2.4

Возведем $3$ в степень $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{25}{9}}$

Этап 3.2.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{9}{9} + \frac{25}{9}}$

Этап 3.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{9 + 25}{9}}$

Этап 3.2.7

Добавим $9$ и $25$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{34}{9}}$

Этап 3.2.8

Перепишем $\sqrt{\frac{34}{9}}$ в виде $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{9}}$ .

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{9}}$

Этап 3.2.9

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{3^{2}}}$

Этап 3.2.9.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{3}$

Этап 4

Найдем абсолютную величину $b⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 8)}^{2}}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$| b⃗ | = \sqrt{1 + {(- 8)}^{2}}$

Этап 4.2.2

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 64}$

Этап 4.2.3

Добавим $1$ и $64$ .

$| b⃗ | = \sqrt{65}$

Этап 5

Подставим значения в формулу.

$θ = \arccos (\frac{- \frac{37}{3}}{\frac{\sqrt{34}}{3} \sqrt{65}})$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34}}{3} \sqrt{65}})$

Этап 6.2

Объединим $\frac{\sqrt{34}}{3}$ и $\sqrt{65}$ .

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34} \sqrt{65}}{3}})$

Этап 6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34 \cdot 65}}{3}})$

Этап 6.3.2

Умножим $34$ на $65$ .

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{2210}}{3}})$

Этап 6.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} (1 \frac{3}{\sqrt{2210}}))$

Этап 6.5

Умножим $\frac{3}{\sqrt{2210}}$ на $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

Этап 6.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{37}{3}$ в числитель.

$θ = \arccos (\frac{- 37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

Этап 6.6.2

Сократим общий множитель.

$θ = \arccos (\frac{- 37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

Этап 6.6.3

Перепишем это выражение.

$θ = \arccos (- 37 \frac{1}{\sqrt{2210}})$

Этап 6.7

Объединим $- 37$ и $\frac{1}{\sqrt{2210}}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 37}{\sqrt{2210}})$

Этап 6.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$θ = \arccos (- \frac{37}{\sqrt{2210}})$

Этап 6.9

Умножим $\frac{37}{\sqrt{2210}}$ на $\frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{37}{\sqrt{2210}} \cdot \frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}))$

Этап 6.10

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.1

Умножим $\frac{37}{\sqrt{2210}}$ на $\frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{\sqrt{2210} \sqrt{2210}})$

Этап 6.10.2

Возведем $\sqrt{2210}$ в степень $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1} \sqrt{2210}})$

Этап 6.10.3

Возведем $\sqrt{2210}$ в степень $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1} {\sqrt{2210}}^{1}})$

Этап 6.10.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1 + 1}})$

Этап 6.10.5

Добавим $1$ и $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{2}})$

Этап 6.10.6

Перепишем ${\sqrt{2210}}^{2}$ в виде $2210$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2210}$ в виде $2210^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{(2210^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 6.10.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 6.10.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.10.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.6.4.1

Сократим общий множитель.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.10.6.4.2

Перепишем это выражение.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{1}})$

Этап 6.10.6.5

Найдем экспоненту.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210})$

Этап 6.11

Найдем значение $\arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210})$ .

$θ = 141.91122711$