Тригонометрия Примеры

$(0, 9)$ , $(5, 80)$

Этап 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Этап 2

Find the dot product.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 \cdot 5 + 9 \cdot 80$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $0$ на $5$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 + 9 \cdot 80$

Этап 2.2.1.2

Умножим $9$ на $80$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 + 720$

Этап 2.2.2

Добавим $0$ и $720$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 720$

Этап 3

Найдем абсолютную величину $a⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{0^{2} + 9^{2}}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$| a⃗ | = \sqrt{0 + 9^{2}}$

Этап 3.2.2

Возведем $9$ в степень $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{0 + 81}$

Этап 3.2.3

Добавим $0$ и $81$ .

$| a⃗ | = \sqrt{81}$

Этап 3.2.4

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9^{2}}$

Этап 3.2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| a⃗ | = 9$

Этап 4

Найдем абсолютную величину $b⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2} + 80^{2}}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 80^{2}}$

Этап 4.2.2

Возведем $80$ в степень $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 6400}$

Этап 4.2.3

Добавим $25$ и $6400$ .

$| b⃗ | = \sqrt{6425}$

Этап 4.2.4

Перепишем $6425$ в виде $5^{2} \cdot 257$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Вынесем множитель $25$ из $6425$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 (257)}$

Этап 4.2.4.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2} \cdot 257}$

Этап 4.2.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$| b⃗ | = 5 \sqrt{257}$

Этап 5

Подставим значения в формулу.

$θ = \arccos (\frac{720}{9 (5 \sqrt{257})})$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель $720$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $9$ из $720$ .

$θ = \arccos (\frac{9 \cdot 80}{9 (5 \sqrt{257})})$

Этап 6.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Сократим общий множитель.

$θ = \arccos (\frac{9 \cdot 80}{9 (5 \sqrt{257})})$

Этап 6.1.2.2

Перепишем это выражение.

$θ = \arccos (\frac{80}{5 \sqrt{257}})$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $80$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $5$ из $80$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 16}{5 \sqrt{257}})$

Этап 6.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 \sqrt{257}$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 16}{5 (\sqrt{257})})$

Этап 6.2.2.2

Сократим общий множитель.

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 16}{5 \sqrt{257}})$

Этап 6.2.2.3

Перепишем это выражение.

$θ = \arccos (\frac{16}{\sqrt{257}})$

Этап 6.3

Умножим $\frac{16}{\sqrt{257}}$ на $\frac{\sqrt{257}}{\sqrt{257}}$ .

$θ = \arccos (\frac{16}{\sqrt{257}} \cdot \frac{\sqrt{257}}{\sqrt{257}})$

Этап 6.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим $\frac{16}{\sqrt{257}}$ на $\frac{\sqrt{257}}{\sqrt{257}}$ .

$θ = \arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{\sqrt{257} \sqrt{257}})$

Этап 6.4.2

Возведем $\sqrt{257}$ в степень $1$ .

$θ = \arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{{\sqrt{257}}^{1} \sqrt{257}})$

Этап 6.4.3

Возведем $\sqrt{257}$ в степень $1$ .

$θ = \arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{{\sqrt{257}}^{1} {\sqrt{257}}^{1}})$

Этап 6.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$θ = \arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{{\sqrt{257}}^{1 + 1}})$

Этап 6.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$θ = \arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{{\sqrt{257}}^{2}})$

Этап 6.4.6

Перепишем ${\sqrt{257}}^{2}$ в виде $257$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{257}$ в виде $257^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{{(257^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 6.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{257^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 6.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$θ = \arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{257^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$θ = \arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{257^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$θ = \arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{257^{1}})$

Этап 6.4.6.5

Найдем экспоненту.

$θ = \arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{257})$

Этап 6.5

Найдем значение $\arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{257})$ .

$θ = 3.57633437$