Тригонометрия Примеры

h (x) = 8 - \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2})

$h (x) = 8 - \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2})$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вертикальные асимптоты функции

y = \cot (x)

$y = \cot (x)$ находятся в точках

x = n π

$x = n π$ , где

n

$n$ — целое число. Используя основной период

(0, π)

$(0, π)$ для

y = \cot (x)

$y = \cot (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для

y = 8 - \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2})

$y = 8 - \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2})$ . Положив аргумент котангенса,

b x + c

$b x + c$ , равным

0

$0$ в выражении

y = a \cot (b x + c) + d

$y = a \cot (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для

y = 8 - \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2})

$y = 8 - \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2})$ .

\frac{x}{3} - \frac{π}{2} = 0

$\frac{x}{3} - \frac{π}{2} = 0$

Этап 1.2

Решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Добавим

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ к обеим частям уравнения.

\frac{x}{3} = \frac{π}{2}

$\frac{x}{3} = \frac{π}{2}$

Этап 1.2.2

Умножим обе части уравнения на

3

$3$ .

3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{2}

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{2}$

Этап 1.2.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Сократим общий множитель

3

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{2}

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{2}$

Этап 1.2.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

x = 3 \frac{π}{2}

$x = 3 \frac{π}{2}$

x = 3 \frac{π}{2}

$x = 3 \frac{π}{2}$

x = 3 \frac{π}{2}

$x = 3 \frac{π}{2}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Объединим

3

$3$ и

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ .

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 1.3

Приравняем аргумент

\frac{x}{3} - \frac{π}{2}

$\frac{x}{3} - \frac{π}{2}$ функции котангенса к

π

$π$ .

\frac{x}{3} - \frac{π}{2} = π

$\frac{x}{3} - \frac{π}{2} = π$

Этап 1.4

Решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перенесем все члены без

x

$x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Добавим

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ к обеим частям уравнения.

\frac{x}{3} = π + \frac{π}{2}

$\frac{x}{3} = π + \frac{π}{2}$

Этап 1.4.1.2

Чтобы записать

π

$π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

\frac{x}{3} = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}

$\frac{x}{3} = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 1.4.1.3

Объединим

π

$π$ и

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

\frac{x}{3} = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}

$\frac{x}{3} = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 1.4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

\frac{x}{3} = \frac{π \cdot 2 + π}{2}

$\frac{x}{3} = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Этап 1.4.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.5.1

Перенесем

2

$2$ влево от

π

$π$ .

\frac{x}{3} = \frac{2 \cdot π + π}{2}

$\frac{x}{3} = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Этап 1.4.1.5.2

Добавим

2 π

$2 π$ и

π

$π$ .

\frac{x}{3} = \frac{3 π}{2}

$\frac{x}{3} = \frac{3 π}{2}$

\frac{x}{3} = \frac{3 π}{2}

$\frac{x}{3} = \frac{3 π}{2}$

\frac{x}{3} = \frac{3 π}{2}

$\frac{x}{3} = \frac{3 π}{2}$

Этап 1.4.2

Умножим обе части уравнения на

3

$3$ .

3 \frac{x}{3} = 3 \frac{3 π}{2}

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{3 π}{2}$

Этап 1.4.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.1

Сократим общий множитель

3

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

3 \frac{x}{3} = 3 \frac{3 π}{2}

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{3 π}{2}$

Этап 1.4.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

x = 3 \frac{3 π}{2}

$x = 3 \frac{3 π}{2}$

x = 3 \frac{3 π}{2}

$x = 3 \frac{3 π}{2}$

x = 3 \frac{3 π}{2}

$x = 3 \frac{3 π}{2}$

Этап 1.4.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1

Умножим

3 \frac{3 π}{2}

$3 \frac{3 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1.1

Объединим

3

$3$ и

\frac{3 π}{2}

$\frac{3 π}{2}$ .

x = \frac{3 (3 π)}{2}

$x = \frac{3 (3 π)}{2}$

Этап 1.4.3.2.1.2

Умножим

3

$3$ на

3

$3$ .

x = \frac{9 π}{2}

$x = \frac{9 π}{2}$

x = \frac{9 π}{2}

$x = \frac{9 π}{2}$

x = \frac{9 π}{2}

$x = \frac{9 π}{2}$

x = \frac{9 π}{2}

$x = \frac{9 π}{2}$

x = \frac{9 π}{2}

$x = \frac{9 π}{2}$

Этап 1.5

Основной период

y = 8 - \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2})

$y = 8 - \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2})$ находится на промежутке

(\frac{3 π}{2}, \frac{9 π}{2})

$(\frac{3 π}{2}, \frac{9 π}{2})$ , где

\frac{3 π}{2}

$\frac{3 π}{2}$ и

\frac{9 π}{2}

$\frac{9 π}{2}$ являются вертикальными асимптотами.

(\frac{3 π}{2}, \frac{9 π}{2})

$(\frac{3 π}{2}, \frac{9 π}{2})$

Этап 1.6

Найдем период

\frac{π}{| b |}

$\frac{π}{| b |}$ , чтобы найти, где находятся вертикальные асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ приблизительно равно

0.\overline{3}

$0.\overline{3}$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

\frac{π}{\frac{1}{3}}

$\frac{π}{\frac{1}{3}}$

Этап 1.6.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

π \cdot 3

$π \cdot 3$

Этап 1.6.3

Перенесем

3

$3$ влево от

π

$π$ .

3 π

$3 π$

3 π

$3 π$

Этап 1.7

Вертикальные асимптоты

y = 8 - \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2})

$y = 8 - \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2})$ находятся в точках

\frac{3 π}{2}

$\frac{3 π}{2}$ ,

\frac{9 π}{2}

$\frac{9 π}{2}$ и в каждой точке

x = \frac{3 π}{2} + 3 π n

$x = \frac{3 π}{2} + 3 π n$ , где

n

$n$ ― целое число.

x = \frac{3 π}{2} + 3 π n

$x = \frac{3 π}{2} + 3 π n$

Этап 1.8

Котангенс имеет только вертикальные асимптоты.

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты:

x = \frac{3 π}{2} + 3 π n

$x = \frac{3 π}{2} + 3 π n$ , где

n

$n$ — целое число

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты:

x = \frac{3 π}{2} + 3 π n

$x = \frac{3 π}{2} + 3 π n$ , где

n

$n$ — целое число

Этап 2

Перепишем выражение в виде

- \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2}) + 8

$- \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2}) + 8$ .

- \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2}) + 8

$- \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2}) + 8$

Этап 3

Применим форму

a \cot (b x - c) + d

$a \cot (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

a = - 1

$a = - 1$

b = \frac{1}{3}

$b = \frac{1}{3}$

c = \frac{π}{2}

$c = \frac{π}{2}$

d = 8

$d = 8$

Этап 4

Поскольку график функции

c o t

$c o t$ не имеет максимального или минимального значения, его амплитуда не может быть определена.

Амплитуда: нет

Этап 5

Найдем период, используя формулу

\frac{π}{| b |}

$\frac{π}{| b |}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем период

- \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2})

$- \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Период функции можно вычислить по формуле

\frac{π}{| b |}

$\frac{π}{| b |}$ .

\frac{π}{| b |}

$\frac{π}{| b |}$

Этап 5.1.2

Заменим

b

$b$ на

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ в формуле периода.

\frac{π}{| \frac{1}{3} |}

$\frac{π}{| \frac{1}{3} |}$

Этап 5.1.3

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ приблизительно равно

0.\overline{3}

$0.\overline{3}$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

\frac{π}{\frac{1}{3}}

$\frac{π}{\frac{1}{3}}$

Этап 5.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

π \cdot 3

$π \cdot 3$

Этап 5.1.5

Перенесем

3

$3$ влево от

π

$π$ .

3 π

$3 π$

3 π

$3 π$

Этап 5.2

Найдем период

8

$8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Период функции можно вычислить по формуле

\frac{π}{| b |}

$\frac{π}{| b |}$ .

\frac{π}{| b |}

$\frac{π}{| b |}$

Этап 5.2.2

Заменим

b

$b$ на

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ в формуле периода.

\frac{π}{| \frac{1}{3} |}

$\frac{π}{| \frac{1}{3} |}$

Этап 5.2.3

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ приблизительно равно

0.\overline{3}

$0.\overline{3}$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

\frac{π}{\frac{1}{3}}

$\frac{π}{\frac{1}{3}}$

Этап 5.2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

π \cdot 3

$π \cdot 3$

Этап 5.2.5

Перенесем

3

$3$ влево от

π

$π$ .

3 π

$3 π$

3 π

$3 π$

Этап 5.3

Период суммы/разности тригонометрических функций равен наибольшему из отдельных периодов.

3 π

$3 π$

3 π

$3 π$

Этап 6

Найдем сдвиг фазы, используя формулу

\frac{c}{b}

$\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле

\frac{c}{b}

$\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы:

\frac{c}{b}

$\frac{c}{b}$

Этап 6.2

Заменим величины

c

$c$ и

b

$b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы:

\frac{\frac{π}{2}}{\frac{1}{3}}

$\frac{\frac{π}{2}}{\frac{1}{3}}$

Этап 6.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

Сдвиг фазы:

\frac{π}{2} \cdot 3

$\frac{π}{2} \cdot 3$

Этап 6.4

Объединим

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ и

3

$3$ .

Сдвиг фазы:

\frac{π \cdot 3}{2}

$\frac{π \cdot 3}{2}$

Этап 6.5

Перенесем

3

$3$ влево от

π

$π$ .

Сдвиг фазы:

\frac{3 π}{2}

$\frac{3 π}{2}$

Сдвиг фазы:

\frac{3 π}{2}

$\frac{3 π}{2}$

Этап 7

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: нет

Период:

3 π

$3 π$

Сдвиг фазы:

\frac{3 π}{2}

$\frac{3 π}{2}$ (

\frac{3 π}{2}

$\frac{3 π}{2}$ вправо)

Смещение по вертикали:

8

$8$

Этап 8

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Вертикальные асимптоты:

x = \frac{3 π}{2} + 3 π n

$x = \frac{3 π}{2} + 3 π n$ , где

n

$n$ — целое число

Амплитуда: нет

Период:

3 π

$3 π$

Сдвиг фазы:

\frac{3 π}{2}

$\frac{3 π}{2}$ (

\frac{3 π}{2}

$\frac{3 π}{2}$ вправо)

Смещение по вертикали:

8

$8$

Этап 9