Тригонометрия Примеры

$h (x) = 8 - \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2})$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вертикальные асимптоты функции $y = \cot (x)$ находятся в точках $x = n π$ , где $n$ — целое число. Используя основной период $(0, π)$ для $y = \cot (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для $y = 8 - \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2})$ . Положив аргумент котангенса, $b x + c$ , равным $0$ в выражении $y = a \cot (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для $y = 8 - \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2})$ .

$\frac{x}{3} - \frac{π}{2} = 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Добавим $\frac{π}{2}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{x}{3} = \frac{π}{2}$

Этап 1.2.2

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{2}$

Этап 1.2.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{2}$

Этап 1.2.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 3 \frac{π}{2}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Объединим $3$ и $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 1.3

Приравняем аргумент $\frac{x}{3} - \frac{π}{2}$ функции котангенса к $π$ .

$\frac{x}{3} - \frac{π}{2} = π$

Этап 1.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Добавим $\frac{π}{2}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{x}{3} = π + \frac{π}{2}$

Этап 1.4.1.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{3} = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 1.4.1.3

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 1.4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x}{3} = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Этап 1.4.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.5.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$\frac{x}{3} = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Этап 1.4.1.5.2

Добавим $2 π$ и $π$ .

$\frac{x}{3} = \frac{3 π}{2}$

Этап 1.4.2

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{3 π}{2}$

Этап 1.4.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{3 π}{2}$

Этап 1.4.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 3 \frac{3 π}{2}$

Этап 1.4.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1

Умножим $3 \frac{3 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1.1

Объединим $3$ и $\frac{3 π}{2}$ .

$x = \frac{3 (3 π)}{2}$

Этап 1.4.3.2.1.2

Умножим $3$ на $3$ .

$x = \frac{9 π}{2}$

Этап 1.5

Основной период $y = 8 - \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2})$ находится на промежутке $(\frac{3 π}{2}, \frac{9 π}{2})$ , где $\frac{3 π}{2}$ и $\frac{9 π}{2}$ являются вертикальными асимптотами.

$(\frac{3 π}{2}, \frac{9 π}{2})$

Этап 1.6

Найдем период $\frac{π}{| b |}$ , чтобы найти, где находятся вертикальные асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

$\frac{1}{3}$ приблизительно равно $0.\overline{3}$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{π}{\frac{1}{3}}$

Этап 1.6.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$π \cdot 3$

Этап 1.6.3

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$3 π$

Этап 1.7

Вертикальные асимптоты $y = 8 - \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2})$ находятся в точках $\frac{3 π}{2}$ , $\frac{9 π}{2}$ и в каждой точке $x = \frac{3 π}{2} + 3 π n$ , где $n$ ― целое число.

$x = \frac{3 π}{2} + 3 π n$

Этап 1.8

Котангенс имеет только вертикальные асимптоты.

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{3 π}{2} + 3 π n$ , где $n$ — целое число

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{3 π}{2} + 3 π n$ , где $n$ — целое число

Этап 2

Перепишем выражение в виде $- \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2}) + 8$ .

$- \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2}) + 8$

Этап 3

Применим форму $a \cot (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = - 1$

$b = \frac{1}{3}$

$c = \frac{π}{2}$

$d = 8$

Этап 4

Поскольку график функции $c o t$ не имеет максимального или минимального значения, его амплитуда не может быть определена.

Амплитуда: нет

Этап 5

Найдем период, используя формулу $\frac{π}{| b |}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем период $- \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 5.1.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{3}$ в формуле периода.

$\frac{π}{| \frac{1}{3} |}$

Этап 5.1.3

$\frac{1}{3}$ приблизительно равно $0.\overline{3}$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{π}{\frac{1}{3}}$

Этап 5.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$π \cdot 3$

Этап 5.1.5

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$3 π$

Этап 5.2

Найдем период $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 5.2.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{3}$ в формуле периода.

$\frac{π}{| \frac{1}{3} |}$

Этап 5.2.3

$\frac{1}{3}$ приблизительно равно $0.\overline{3}$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{π}{\frac{1}{3}}$

Этап 5.2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$π \cdot 3$

Этап 5.2.5

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$3 π$

Этап 5.3

Период суммы/разности тригонометрических функций равен наибольшему из отдельных периодов.

$3 π$

Этап 6

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 6.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{\frac{π}{2}}{\frac{1}{3}}$

Этап 6.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

Сдвиг фазы: $\frac{π}{2} \cdot 3$

Этап 6.4

Объединим $\frac{π}{2}$ и $3$ .

Сдвиг фазы: $\frac{π \cdot 3}{2}$

Этап 6.5

Перенесем $3$ влево от $π$ .

Сдвиг фазы: $\frac{3 π}{2}$

Этап 7

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: нет

Период: $3 π$

Сдвиг фазы: $\frac{3 π}{2}$ ( $\frac{3 π}{2}$ вправо)

Смещение по вертикали: $8$

Этап 8

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{3 π}{2} + 3 π n$ , где $n$ — целое число

Амплитуда: нет

Период: $3 π$

Сдвиг фазы: $\frac{3 π}{2}$ ( $\frac{3 π}{2}$ вправо)

Смещение по вертикали: $8$

Этап 9